考研数学一常微分方程辅导课件.ppt

《考研数学一常微分方程辅导课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章常微分方程主讲人：周志轩一、基本概念、定理、公式二、重要题型的解题方法与技巧三、思维定势及综合题解析1微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶一般n阶微分方程的形式为F(xyyy(n))0或y(n)f(xyyy(n1))一、基本概念、定理、公式2微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上F[x(x

2、)(x)(n)(x)]0那么函数y(x)就叫做微分方程F(xyyy(n))0在区间I上的解通解如果n阶微分方程的解中含有n个相互独立的任意常数则这样的解叫做微分方程的通解特解确定了通解中的常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解叫特解3对于一阶微分方程通常用于确定任意常数的条件是对于二阶微分方程通常用于确定任意常数的条件是初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题初值问题微分方程的解的图形是一条曲线叫做

3、微分方程的积分曲线积分曲线4可分离变量的微分方程的解法两端积分方程G(y)F(x)Cyy(x)或xx(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解求显式解求方程由G(y)F(x)C所确定的隐函数yy(x)或xx(y)如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式5注分离变量得解这是一个可分离变量的微分方程.两边积分得即ln

4、y

5、

6、x2C1ln

7、y

8、x2ln

9、C

10、加常数的另一方法例1求微分方程的通解。6标准形式yP(x)yQ(x)当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程一阶线性微分方程齐次线性方程的通解齐次线性方程yP(x)y0是变量可分离方程其通解为提示非齐次线性方程的通解齐次线性方程的通解非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为注非齐次线性方程的通解也可写为上式表明非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和齐次通解非齐次特解对应齐次方程通解

11、齐次方程通解非齐次方程特解对于非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例2解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令伯努利方程标准形式yP(x)yQ(x)yn(n01)伯努利方程yP(x)yQ(x)yn可化为:伯努利方程的解法解原方程可化为由非齐次线性方程的通解公式得即原方程的通解为例3求方程的通解.齐次方程的解法变量代换分离变量两端积分还原变量齐次方程注:也可取变量代换原方程可写成解分离变量得两边积分得uln

12、u

13、Cln

14、x

15、或

16、写成ln

17、xu

18、uC例4解方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为yP(x)yQ(x)yf(x)若方程右端f(x)0时方程称为齐次的否则称为非齐次的定理1(齐次方程的解的叠加原理)如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解其中C1,C2是任意常数定理2(齐次方程的通解的结构)如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x

19、)是方程的通解其中C1、C2是任意常数注:函数y1(x)与y2(x)线性无关,是指例如：已知cosx与sinx都是方程y+y=0的解因为比值cosx/sinx=cotx不恒为零所以cosx与sinx在()内是线性无关的因此cosx与sinx是方程y+y=0的线性无关解方程y+y=0的通解为y=C1cosxC2sinx定理3(非齐次方程的通解的结构)设y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解那么yY(x

20、)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解例如：已知cosx与sinx都是方程y+y=0的解因为比值cosx/sinx=cotx不恒为零所以cosx与sinx在()内是线性无关的因此cosx与sinx是方程y+