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1、第四章回归分析分形地形何谓回归分析？回归分析的任务就是通过大量实验与实际观测数据，经过分析研究，找出随机变量间的内在规律。通常把这种变量间的相互关系又称为回归关系。有关回归关系的计算与理论就称为回归分析。回归分析所要解决的问题1．已知随机变量之间的统计函数形式，而未知具体函数，根据长期实践经验，根据函数的形式适当估计未知的参数就行了。2．已知随机变量之间具有相关性，未知变量之间的函数形式。首先要确定随机变量之间的统计函数形式，然后再估计函数中的未知参数。第一节一元线性回归分析一、最小二乘法求回归方程系数设y与x有关系：y=a+bx目的：确定a,b,使方程（直线）与观
2、测值吻合（拟合）最好。解决方法：用最小二乘法构造目标函数根据微积分求极值原理：函数对未知量的导数等于零。经整理：二、回归方程的具体计算计算步骤：1．根据给定数据（xi,yi;i=1,2….n）(通常作成数据文件),计算2.根据(4-10)式和(4-7)式求出b,a,得到回归方程（线性回归关系的数学表达），式中a为截距，而b为回归系数。三、回归方程显著性检验利用t的临界值表，可以制出R的临界值（即相关系数检验表）。如果算得R的绝对值超过R的临界值，则认为x与y存在线性关系；如果r的绝对值小于临界值，则认为x与y没有线性关系。1.R检验法2．F检验法假设：“x与y没有线
3、性关系”,统计量：服从F(1,n-2)分布。式中fr为回归平方和的自由度（自变量个数p）；fd为偏差平方和的自由度（n-p-1）；ft为总离差平方和的自由度（n-1）。四、用回归方程进行预测与控制定义：σ2=Sd/fd，则有在平面上做平行于回归直线作两条直线:全部可能的观测值y中，将有95％的点子落在这两条直线所夹的带子内.五、应用实例河北某矿区取得12个矿样，测得其含Cr2O3和Os之间的数据如表4-1所示第二节多元线性回归分析一、用最小二乘法确定回归平面(或超平面)m个自变量x1，x2，…,xm与因变量y之间的关系,设为使得实际观测值yt与平面(4-18)上相应
4、的值yt之间的偏差平方和最小：与一元线性回归类似，对系数求导：将（4-21）展开整理，解得后m个方程写成下面正规方程组式中正规方程组解出未知数b1,b2,…,bm,得回归方程：二、回归方程的显著性检验1.F检验由于St=Sr+Sd，统计量服从F(m,n-m-1)分布。2.相关系数检验复相关系数R显著性检验方法与一元回归分析完全相同。三、用回归方程进行预测和控制同样做与回归平面平行的两个平面:则观测数据将以95%的概率落在上述两平面之间。由于问题讨论回归分析的实质就是根据随机变量的n次实际观测数据（采样）寻找因变量与自变量间的相关关系的数学模型。那么，由此所建立的数学
5、模型（各种类型的方程）对原始数据在多大程度上具有代表性呢？怎样判断？有几种方法？当变量之间具有非线性性质时，通常怎样处理？举例说明之。第三节逐步回归分析一、数据的标准化给定一组实际观测数据x1t，x2t,…,xkt,yt(t=1,2,…,n)作如下变换得到新数据u1tu2t,…,ukt,vt(t=1,2,…,n)称为标准化数据，显然有a0=0,其它回归系数满足下面正规方程组上述正规方程组中的每个方程两边同除以n-1,则正规方程组化为从方程组(4-31)解得标准回归系数(ai,i=1,2，…,k),再通过新老回归系数之间的关系求出（bt,t=0,1,2,…,k）。二、
6、选入变量与剔除变量的原则1．首先根据具体情况，确定选入变量和剔除变量的标准Fl和F2(Fl≥F2)，作为检验每个变量的F检验的临界值。2．从一个回归方程中增加一个新变量xi，则回归平方和增加(剩余平方和减少)，用pi表示新回归平方和与原回归平方和之差：对于不在原回归方程中的变量xi，如果F＝(n-k’-l)pi／Sdnew＞F1,则因素xi对y起重要作用，应当引入到新回归方程中，否则就不应当引入。对于已在新回归方程中的变量xi，如果F’＝(n-k’-l)pi／Sdnew＜F2,则因素xi对y的作用已不显著，应当从新回归方程中剔除。3．在回归方程中，引入一个变量或剔除
7、一个变量，偏回归平方和都要起变化。剔除变量时，不应同时把所有偏回归平方和不显著的因子全部一次剔除，而只剔除偏回归平方和最小的同时又不显著的那一个因素。然后，重新计算剩下各因素的偏回归平方和，再剔除偏回归平方和最小同时又不显著的一个因素，如此反复，直到不能剔除因素为止。4．如果回归方程中，已经没有需要剔除的因素，则应当考虑能否选入变量。5．选入一个新变量后，新回归方程中又可能出现相形见拙的因素，应当再进行剔除工作，如此选入与剔除反复进行，直到回归方程中既没有可剔除的因素，亦无可引入的因素为止。三、逐步回归的具体计算步骤第0步：求出相关系数矩阵对相关系数矩阵A进行一
