山东工商学院-线性代数重点.doc

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1、一（阶行列式）解：.二解：三、设，，(1)当为何值时，向量组线性相关？(2)当为何值时，向量组线性无关？(3)当线性相关时，可否由线性表示?若能，求其表示系数.解：（1）当，即时，线性相关.（2）当，即时，线性无关.（3）当时，解线性方程组，即得所以可由线性表示，表达式为：.四试判断向量可否由向量组，线性表出？若能，请试写出其一种表示形式.解：解线性方程组即即，当时，.所以.五证明：若向量组线性相关，则向量组，，，也线性相关.证明：显然，向量组可由向量组线性表出，故秩（）秩（），而向量组线性相关，有秩（），则秩（），所以向

2、量组也线性相关.六证明：若向量组可由向量组线性表出，线性相关，则也线性相关.证明：由于向量组可由向量组线性表出，故秩（）秩（），而向量组线性相关，有秩（），则秩（），所以向量组也线性相关.七设矩阵,若它的秩等于3，求的值.解：对矩阵进行初等变换要使矩阵的秩等于3，则.八、设向量组，.求其极大无关组.解：根据这个向量组作一个矩阵并对这个矩阵作初等行变换这个向量组的秩为，其极大无关组为或或.九试求向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组表示.解：根据这个向量组作一个矩阵并对这个矩阵作初等行变换这个向量组的秩为，一

3、个极大无关组为，且有.十取何值时，方程组有非零解？解：当这个线性方程组的系数行列式，即或时，这个线性方程组有非零解.十一方程组问：当、为何值时，方程组有解？无解？有解时，是唯一解还是无穷解？解：对这个线性方程组的增广矩阵进行初等行变换当或时，这个线性方程组无解；当且时，这个线性方程组有解，且有无穷多解.十二、取何值时，线性方程组有解，并求出全部解.解：对这个线性方程组的增广矩阵进行初等行变换当且时，这个线性方程组有解，其全部解为，为任意常数.十三设，，求.解：；；.十四设，说明可逆，并求.解：由，得，有，进一步有，即，所以

4、可逆，且.十五设阶方阵和满足条件，证明为可逆矩阵.证明：由，得，有，即，所以为可逆矩阵，且.十六用初等变换求的逆矩阵.解：对下面矩阵只进行初等行变换故.十七设，，求解矩阵方程.解：，对下面矩阵只进行初等行变换，所以.十八若阶矩阵满足,试证可逆，并求出.证明：由得，即，所以可逆，且.十九、求正交矩阵，使为对角矩阵．①解：1）求.2）由1）解得的特征值为：.3）对于，解齐次线性方程组得其线性无关的特征向量为：，对于，解齐次线性方程组得其线性无关的特征向量为：，对于，解齐次线性方程组得其线性无关的特征向量为：.4）将单位化得，，

5、.5）令，有.②解：1）求.2）由1）解得的特征值为：.3）对于，解齐次线性方程组得其线性无关的特征向量为：，对于，解齐次线性方程组得其线性无关的特征向量为：，对于，解齐次线性方程组得其线性无关的特征向量为：.4）正好正交，只需将单位化得，，，5）令，有.