函数的极限表限.doc

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1、函数的极限表限――极限与函数的关系摘要：继高中数学中，在解决基本凼数求导问题时，简单涉及了极限思想在求导过程中的应用后，在进一步探究在极限条件下研究函数具体问题和其在具体经济生活当中的作用时出现了一系列问题，而极极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.限与函数的基本关系。本章在极限与函数的关系背景下从一下三个方面

2、探究。第一节：数列的极限应用第二节：极限与函数图形凹凸性的关系。第三节：常见经济问题中的极限应用关键词：函数、极限、经济问题第一节数列的极限应用一数列的极限　（一）数列极限的定义1.数列的定义　　设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式

3、an-A

4、<都成立，那么就称常数A是数列{an}的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作　　读作"当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A"。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.　　上述

5、定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，为半径的开区间（A-,A+），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.　　对于正整数N应该注意两点：其一，N是随着而存在的，一般来讲，N随着的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数即可.　　2．性质　　收敛数列有如下性质：　　（1）极限唯一性；　　（2）若数列{an}收敛

6、，则{an}为有界数列；　　（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；　　（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；　　（5）保序性，即若，且AN1时an

7、任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在xx0时的极限，记作　　上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为　　1对：任意以两直线为边界的带形区域；　　2总：总存在（以点x0位中心的）半径；　　3当时：当点x位于以点x0位中心的空心邻域内时；　　4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.　　（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在

8、x

9、大于某一正数时有定义，如果任给>0，总存在着正数，使得

10、对于适合不等式

11、x

12、>的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式

13、f(x)-A

14、<，则称常数A为函数f(x)当x时的极限，记作　　并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.　　2．性质　　（1）极限唯一性；　　（2）局部有界性若存在，则存在1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；　　（3）局部保号性若，则存在1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；　　（4）局部保序性若，，且A0，使得时f(x)

15、(x)当xx0时，极限存在的充分必要条件是函数f(x)当xx0时的左、右极限都存在些相等，即　　利用定义证明极限下面介绍用"-（或N）"证明极限的一般步骤.　　1.极限值为有限的情形：　　（1）给定任意小正数；　　（2）解不等式或，找或N；　　（3）取定或N；　　（4）令或，由或成立，推出或.　　2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+与自变量为例）：　　（1）给定任意大正数G；　　（2）解不等式；　　（3）取定；　　（4）令，由成立，推出.　　利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等

16、式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的（或N）.　　极限存在准则1．夹逼准则　　（1）数列极限的夹逼准则　　如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件：　　1存在N，n>N时，bnancn；2　　则数列{an}的极限存在，且.　　（2）函数极限的夹逼准则　　（以xx0和x为例）如果1（或

17、x

18、>M）时，有2（或），则（或）　　（3）一个重要不等式