基于万有引力定律的开普勒三定律.docx

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1、基于万有引力定律的开普勒三定律证明为简化系统，不妨先假设：静止的参考系近似为惯性系，以此为参考系，考察。以质心为原点，的矢径为。由万有引力定律，……⑴注意和在同一直线上则故……⑵即始终在一个过并与垂直的平面内运动（开普勒第一定律）另一方面，由于位置间矢径扫过的面积故单位时间扫过的面积，即面积速度是个定值（开普勒第二定律）在运动的平面内引入极坐标，有，，对②式乘并取模，则可化为……⑶（即角动量守恒）又由机械能守恒定律，……⑷……⑸记为近日点，即，显然，在到达之前的半圈，，在通过之后的半圈，，⑸式变为……⑹我们选取适当的坐标，使在处取，对⑹式换元

2、，再做积分可得，上式化简可得，……⑺与极坐标下的圆锥曲线具有相同形式（其中为离心率，为焦点到准线的距离）即，当总机械能时，离心率，轨迹为椭圆，当总机械能时，离心率，轨迹为抛物线，当总机械能时，离心率，轨迹为双曲线的一支。当轨迹为椭圆时，记其半长轴、半短轴、半焦距分别为，取远日点为则，记这两点的速率分别为则在的面积速率分别为，由开普勒第二定律，，则有……⑻又由机械能守恒，……⑼由⑻⑼式可以解得，，可得面积速率由椭圆面积得周期即（定值）（开普勒第三定律）再考察，差距不大的一般情况（双星系统）：显然，相对于两者整体质心静止的参考系是惯性系，以系统的

3、质心为原点，到的矢径分别为，显然，……⑽，对于，运动方程为化简为……⑾类似地，对于，其运动方程化简后为……⑿由⑽式，显然我们可以选取一个适当的矢量使得，，将其带入⑾⑿，再对⑾⑿作差，即得到的相对运动关系记以为中心到的矢径为，则上式等价于……⒀由对称性，反之亦然由此可以看出，对于组成的双星系统，其相对运动关系等效于中心质量为的简化系统的运动关系，各个定律只要按中心质量为处理即可。