大学固体物理习题.doc

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1、一、简述题玻恩-冯卡门边界条件格林艾森常数7个晶系布洛赫定理立方晶系的所有对称操作一维、二维、三维情况下的电子态密度。维格纳-赛茨元胞电离能价带导带石墨各化学键类型色散关系初基元胞一维、二维、三维情况下的声子态密度。能带德拜模型爱因斯坦模型14种点阵第一布里渊区近自由电子近似有效质量紧束缚近似亲和能绝热近似二、证明题1、证明一维单原子链所有的独立模式构成正交完备集。证：完备性自己补充2、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，证明在低温极限比热正比与。证明：在到间的独立振动模式对应于平面中半径到间圆环的面积，且（3、

2、证明在倒易空间中当落于一倒格矢的垂直平分面上时，发生布拉格反射。证明：如图所示当落于一倒格矢的垂直平分面上时，有，，又，得布拉格反射公式：。4、证明在晶体中不存在5次旋转轴。证明：对于AB如果绕A转θ将B转到B’或者绕B将A转到A’点。转动θ角是晶体的一个对称操作，所以A’和B’也是晶体中的结点。所以有（n取整数）由几何关系由此可见由于，所以n只能取-1,0,1,2,3对应的θ分别为0（），，，，。ABA’B’θθ三、计算题1、求边长为a二维正方晶格的倒点阵，并画出其第一、第二布里渊区。解：二维正方点阵基矢其倒点阵基

3、矢为，倒点阵为边长的正方点阵。其布里渊区如图所示，红色为第一布里渊区，绿色为第二布里渊区。2、对于，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为计算fcc结构的的结合能[以KJ/mol单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．解：以为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：3、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有，求解其态密度。解：依据，并带入上边结果有。4、用紧束缚近似计算面心立方晶格

4、最近邻近似下s态电子能带以及k=0附近的有效质量。解：面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在将这些Rs代入上式并简化可得：在k＝0附近，，，，均很小，利用，（x<<1,则得故由于其余5、已知一维晶格中电子的能带可写成，式中是晶格常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）在带顶和带底的电子的有效质量。解：能带宽度为，由极值条件，得上式的唯一解是的解，此式在第一布里渊区内的解为当k＝0时，取极小值，且有当时，取极大值，且有由以上的可得能带宽度为（2）带顶和带底电子的有效质量分别为6、计算晶格常数为a，质量为m，恢

5、复系数为b的二维点阵，其原子的振动方向垂直于晶格平面，求其色散关系。解：仅考虑最近邻原子的作用有设坐标为(l,m)原子的运方程为带入得色散关系7、设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为，b为待定常数，平衡间距，求线膨胀系数。解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数其中：，由平衡条件，由于，8、求原子数为N晶格常数为a的一维单原子链的声子态密度。解：一维单原子链的色散关系为：。。代入。9、某简单立方晶体相邻原子间相互作用能可以写为，试求晶体的结合能W以及体弹性模量B。解：晶体的内能函数为平衡位置，有。结合能。体弹性模量

6、，带入，有。10、立方晶体有三个弹性模量，和。铝的，，铝沿方向传播的弹性纵波的速度，横波速度，的密度。求德拜模型中铝的振动模式密度。的质量，求（1）能带的宽度，（2）在带顶和带底的电子的有效质量。解：德拜模型中，振动模式密度为其中，，所以，代入中，故，其中，。