第4章无穷级数7-8(正弦级数 余弦级数)ppt课件.ppt

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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A第4章无穷级数4.6函数展开成正弦级数与余弦级数4.6函数展开成正弦级数与余弦级数第5章内容小结第5章题目类型例1例2例3例4例5例6例7例8定理1证奇函数同理可证(2)偶函数定理证毕.定义:例1解将f(x)作周期延拓,如图显然f(x)在[,]上满足收敛定理条件.由于f(x)在[,]上为奇函数,故Fourier级数为正弦级数.定理2.设f(x)是以2l为周期的周期函数,且满足收敛定理的条件,则有则有若f(x)在[0,]上满足收敛定理的条件,则可展成Fourier级数.具体作法分两

2、种情况进行:1.将f(x)在[0,]上展成正弦级数.具体步骤是:(2)对F(x)作周期延拓(3)将经过奇延拓与周期延拓后的函数展成Fourier级数，必为正弦级数(5)对收敛性进行讨论，类似于前面讨论的情况2.将f(x)在[0,]上展成余弦级数.具体步骤是:(2)对F(x)作周期延拓(3)将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成Fourier级数，必为余弦级数(5)对收敛性进行讨论，类似于前面讨论的情况例2解(1)将f(x)作奇延拓,再作周期延拓.如图(2)将f(x)作偶延拓,再作周期延拓.如图可见f(x)的Fourier级数收敛于f(x).若

3、f(x)在[0,l]上满足收敛定理的条件,则可展成Fourier级数.具体作法分两种情况进行:1.将f(x)在[0,l]上展成正弦级数.具体步骤是:(2)对F(x)作周期延拓(3)将经过奇延拓与周期延拓后的函数展成Fourier级数(5)对收敛性进行讨论2.将f(x)在[0,l]上展成余弦级数.具体步骤是:(2)对F(x)作周期延拓(3)将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成Fourier级数(5)对收敛性进行讨论例3解(1)将f(x)作奇延拓,再作周期延拓.如图(2)将f(x)作偶延拓,再作周期延拓.如图对于非对称区间上的函数，只要作适当的变量

4、替换将非对称区间转化为对称区间，再按前面介绍的情形展成Fourier级数,最后代回原来的变量即得所求.例4例5例6F(z)在[,]上满足收敛定理的条件，它在每一点都连续，它的Fourier级数在[,]上收敛于F(z).例4解由于f(x)为非对称区间上的函数，故应作变量替换将其转化为对称区间上的函数.例5解由于f(x)为非对称区间上的函数，故应作变量替换将其转化为对称区间上的函数.F(z)在(5,5)上满足收敛定理的条件，它在每一点都连续，它的Fourier级数在(5,5)上收敛于F(z).例6解f(x)的Fourier级数在x

5、=0处收敛于在3

6、型5.求数项级数的和例7解由Taylor系数公式可得,例8解