空间曲线方程式ppt课件.ppt

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1、第六节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程.(1)xyzoS1S2C例1:球面x2+y2+z2=32与平面z=2的交线是一个圆,它的一般方程是x2+y2+z2=32z=2例2:方程组表示怎样的曲线?解:方程表示球心在原点O,半径为a的上半球面.方程表示母线平行于z轴的圆柱面.它的准线xOy面上的圆,圆心在点所以方程组表示上述半球面与圆柱

2、面的交线.Oxyz二、空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t)当给定t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例3:如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的

3、投影为M(x,y,0).xyzhAOMtM(1)动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM=t.从而x=

4、OM

5、·cosAOM=acosty=

6、OM

7、·sinAOM=asint(2)动点同时以线速度v沿z轴向上升.因而z=MM=vt得螺旋线的参数方程x=acosty=asintz=vt注:还可以用其它变量作参数.xyzAOMtMyxzAOMtM例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:x=acosy=asinz=b当从0变到0+是,z由b0变到b0+b,即M点上升的高度与OM转过

8、的角度成正比.特别,当=2时,M点上升高度h=2b,h在工程上称h=2b为螺距.三、空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(3)由方程组(3)消去z后得方程H(x,y)=0(4)方程(4)表示一个母线平行于z轴的柱面,曲线C一定在曲面上.以曲线C为准线,母线平行于z轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线,或简称投影.所以方程所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影.H(x,y)=0z=0注:同理可得曲线在yOz面或xOz面

9、上的投影曲线方程.例4:已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2=1和x2+(y1)2+(z1)2=1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解:联立两个方程消去z,得这是母线平行于z轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为例5:设一个立体由上半球面和锥面所围成,求它在xoy面上的投影.解:半球面与锥面的交线为由方程消去z,得x2+y2=1yxzOx2+y21这是一个母线平行于z轴的圆柱面.于是交线C在xoy面上的投影曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上的一个圆.所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y21四、二次曲面1.定义

10、:由x,y,z的二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面,称为二次曲面.其中a,b,…,i,j为常数.研究方法是采用平面截痕法.zoxyO2用平面z=k去截割(要求

11、k

12、c),得椭圆当

13、k

14、c时,

15、k

16、越大,椭圆越小;当

17、k

18、=c时,椭圆退缩成点.2.几种常见二次曲面.(1)椭球面1用平面z=0去截割,得椭圆3类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.(2)椭圆抛物面:1平面z=k,(k0)截割,截线是平面

19、z=k上的椭圆.k=0时,为一点O(0,0,0);随着k增大,椭圆也增大.zyxo2用平面y=k去截割,截线是抛物线3类似地，用平面x=k去截割,截线是抛物线.第七节平面及其方程一、平面的点法式方程1.法向量:若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面的法向量.注:1对平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n与上任一向量垂直.2.平面的点法式方程设平面过定点M0(x0,y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOnM0M=0而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A

20、(xx0