《高等代数》月测试试题与及答案.doc

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1、《高等代数》月测试试题与及答案（行列式与线性方程组部分）（2004年12月）一、（共12分）叙述下列概念或命题：（1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理.答：（1）向量组称为线性相关，如果有数域中不全为零的数，使.注对如下定义也视为正确：如果向量组（）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组称为线性相关的.（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.注对如下定义也视为正确：向量组的一个部分组称为一个

2、极大线性无关组，是指：（ⅰ）线性无关；（ⅱ）可由线性表出.（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.注用公式写出按行（或列）展开定理亦可.二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分）1．．（×）2．若向量组（）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合．（×）3．在全部（）级排列中，奇排列的个数为．（√）4．若排列为奇排列，则排列为偶排列．（×）5．若矩阵的秩是，则的所有高于级的子式（如果有的话）全为零．（√）6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例．（×）7．当线性方程组无解时，它的导出组也无解．（×

3、）8．对个未知量个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解．（×）9．等价向量组的秩相等．（√）10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的解．（√）三、（共18分）计算行列式（1）解原式．注用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）解将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式．注本题也可以从第4行提取公因子，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式．（3）（）．解原式．注本题也可按最后一列（或行）展开，得递推式：，答案正确给满分，有正确的递推式但结果有误，给3分．另

4、外对按第一行（或列）展开者类似给分．四、设向量组，，，，．试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出．（10分）解…………（5分）故向量组的秩为3，是一个极大线性无关组，并且…………（8分），．…………（10分）注本题关于极大线性无关组答案中，除不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都是极大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5分．五、讨论取什么值时下列线性方程组有解，并求解．（10分）解方程组的增广矩阵为，系数行列式为……（2分）（1）当且时，方程有唯一解，此时…………（3分），故得

5、解为；…………（5分）（2）当时，增广矩阵，无解；…………（7分）（3）当时，增广矩阵，有无穷多组解，通解为（为自由未知量），或表成．……（10分）注本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论．对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者，各扣2分．六、证明题：（每小题10分，共30分）1．证明：如果向量组线性无关，而线性相关，则向量可以由线性表示，且表示法唯一．（10分）．证明（1）由线性相关，存在不全为零的数，使…………（2分）又由线性无关，得（否则，线性相关，矛盾）…………（4分）于是，；…………（5分）（2）设，，则，即，由于线性无关，故，即（）

6、．…………（10分）2．证明：若向量线性无关，则也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．证明设，即，…………（2分）由于线性无关，故有解之得，…………（5分）故也线性无关．…………（6分）对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个向量线性无关，并不能得到向量线性无关的结论．注1由知，是线性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；注2如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下结论:若4个向量线性无关，则向量也线性无关．该答案也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分．3．设是数域中个互不相同的数

7、，是数域中任一组给定的数．求证：（1）存在唯一的数域上的次数不超过的多项式，使，；（2）特别的，求出使，成立的次的多项式．证明（1）将，，代入，得…………（2分）由于系数行列式，…………（4分）故线性方程组有且仅有唯一解，即存在唯一的数域上的次数不超过的多项式，使，；…………（5分）（2）由克莱姆定理，，，，故使，成立的次的多项式为．…………（10分）注对（2）不用克莱姆定理，而直接观察出的也给满分．七、（附加题）证明或否定如下结论：若三个向量两两线性无关，则线性无关．并说明在三维几何空间中的意义．（10分）解本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两

8、两不共线，则它们不共面．………（5分）很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面．………（10