正弦激励下RL与C并联电路的稳态分析.docx

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1、正弦激励下RL支路与C支路并联电路的稳态分析：一、数学问题：一阶线性微分方程的一般形式如（1）式所示，dydx+P(x)y=Q(x)(1)当Q(x)恒等于0的时候称为齐次方程，否则称为非齐次方程，对应齐次线性方程dydx+P(x)y=0(2)的通解是：y=Ce-∫Pxdx(3)C是根据初始条件确定的待定常数而对应非齐次线性方程(1)的通解是：y=e-∫Pxdx{ ∫ Q(x)e∫Pxdxdx+C}(4)这个通解可以写成下面的形式：y=Ce-∫Pxdx+e-∫Pxdx ∫ Q(x)e∫Pxdxdx(5)(5)式第一项是齐次线性方程的通解，第二项是在(4)式中令C等于0

2、时非齐次线性方程的一个特解。（记住(1)和(5)式就行了,）二、RL电路在正弦激励下的稳态分析归纳为求一阶非齐次线性方程的一个特解的问题：有一个电路如图1所示，其中电源电动势为us=Emsinωt(Em、ω都是常量)，电阻R和电感L都是常量.求电流i(t)图1列回路电压方程：uL+uR=us即Ldidt+Ri=Emsinωt整理后得didt+RLi=EmLsinωt(6)(6)式与(1)式比较，可以看出这是一个非齐次线性方程，其中y=i,x=t,P(x)=P(t)=RL,Q(x)=Q(t)=EmLsinωt,将之代入(5)式，得i(t)=Ce-RtL+e-RtL (

3、∫ EmLeRtLsinωtdt)(7)(7)式第一项是暂态电流，随着t的增加逐渐衰减到0，第二项是稳态电流，因为是稳态分析，在忽略第一项的情况下，得i(t)=e-RtL {∫ EmLeRtLsinωtdt}(8)应用分布积分法得∫ eRtLsinωtdt={eRtL/(R2+ω2L2)}(RLsinωt-ωL2cosωt)将上式代入(8)式，即得i(t)={Em/(R2+ω2L2)}(Rsinωt-ωLcosωt)(9)令φ=ractanωLR则有cosφ=RR2+ω2L2,sinφ=ωLR2+ω2L2代入(9)式，得i(t)=EmR2+ω2L2sin(ωt–φ)

4、这个结果就相当于求出了你给我的图中RL串联支路的电流.电容支路的电流相对比较好求，因为ic(t)=Cddx(Emsinωt)=ωCEmcos(ωt)(10)=ωCEmsin(ωt+π2)如果把两个支路的电流相加[(9)式加上(10)式]，就可以求出总的电流：iG(t)=ωCEmsin(ωt+π2)+EmR2+ω2L2sin(ωt–φ)三、向量法基础：相量法是分析研究正弦电流电路稳定状态的一种简单易行的方法。它是在数学理论和电路理论的基础上建立起来的一种系统方法。根据电路的基本定律VCR(元件的电压电流关系)、KCL（基尔霍夫电流定律）和KVL（基尔霍夫电压定律），编

5、写含有储能元件的线性非时变电路的电路方程时，将获得一组常微(积)分方程。例如图2所示的RLC串联电路为例：电路的KVL方程为uR+uL+uC=uS,图2uR=Ri,uL=Ldidt,uC=1C∫idt(i=Cdudt,du=iCdt,∫du=∫iCdt,u=1C∫idt)将上述元件的VCR代人KVL方程有Ri+Ldidt+1C∫idt=uS(11)由数学理论可知，当us(激励)为正弦量时，上述微分方程中的电流变量i的特解(响应的稳态分量)也一定是与us同一频率的正弦量，反之亦然。这一重要结论具有普遍意义，即线性非时变电路在正弦电源激励下，各支路电压、电流的特解都是与

6、激励同频率的正弦量，当电路中存在有多个同频率的正弦激励时，该结论也成立。工程上将电路的这一特解状态称为正弦电流电路的稳定状态，简称正弦稳态。电路处于正弦稳态时，同频率的各正弦量之间，仅在振幅、初相位上存在“差异和联系”，这种“差异和联系”正是正弦稳态分析求解中的关键问题。现以式(11)的求解为例，说明相量法的基础。若已知式(11)中的正弦电源us为uS=Emsin(ωt+φu)则电流i的特解将是与us同一频率的正弦量，因此，可设为i=Imsin(ωt+φi)式中Im、φi为待求量。将上述正弦量代人式(11)后，则可将微分方程式(11)变换为RImsin(ωt+φi)

7、+ωLImcos(ωt+φi)-1ωCImcos(ωt+φi)=Emsin(ωt+φu)上述方程说明，正弦稳态电路方程是一组同频正弦函数描述的代数方程，电路基本定律所涉及的正弦电流、电压的运算，不会改变电压、电流同频正弦量的性质，即正弦量乘常数(Ri)，正弦量的微分(uL)、正弦量的积分(uc)和同频正弦量的代数和(KVL、KCL)等运算，其结果仍是同频的正弦量。可以看出，各同频正弦电压、电流之间，在振幅、初相上的“差异和联系”寓于正弦函数描述的电压、电流表达式及电路方程中。无疑，求解和分析同频正弦函数所描述的电路方程，将能获得正确的结果或结论，但这一方法对于复