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《第五节泰勒公式与泰勒级数讲稿第六节函数的间接展开(泰勒级数)2013-3-26(修改).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、例（1）（3）(90.5)求级数的收敛域.解令，级数,由知,因此当即时原级数收敛.当时,原级数为收敛,当时,原级数为收敛.所以原级数收敛域为.（2）(92.3)级数的收敛域为.答令对于,由,于是收敛半径,则内收敛.当和时,原级数都为发散,所以收敛域为.例4求幂级数的收敛半径与收敛域.（中心不在原点的级数求收敛域时先作变量替换）解令,幂级数变形为,，当时原级数为收敛，当时，发散，故原级数收敛半径，收敛域为.注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.§7.5泰勒公式与泰勒级数教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的T
2、aylor级数与Taylor展式的关系.重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法.难点:理解泰勒公式的推导方法.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：引例：近似表达函数的多项式的特性无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数引例：当很小时，，设，，则.用表示在处值更为接近.猜想将换成则在处两函数有直到n阶相同的导数，其在处接近的程度更高，即.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数在的某一邻域内有直到阶的导数，令，再令,,若,.（表
3、示的函数值相等）则（），于是.证明：因,,……,……,,那么,所以,.一、泰勒（）公式在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式（当很小时）从几何上看，这是在点附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在函数改变量的表达式中略去了一个关于（）的高阶无穷小量（时）.但公式在实际计算中的精度不高，其误差为，可以推出.如果需要精度更高些，可将（）的高阶无穷小分离成两部分（时）.保留与同阶的无穷小量，略去的高阶无穷小量，此时有，以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用次多项式近似表示，当很小时，将多项式写成以（）的方幂展开的形式，其中是待
4、定系数.我们知道具有任意阶的连续导数，将的多项式两边求一阶到阶导数，并令可得于是可以写成若函数在的某一邻域内一阶到阶的导数都存在，可以做出一个次多项式不一定等于，但它可以近似表示，它的近似程度可以由误差来确定.设，如果能确定的值，则就确定了.【定理7.10】（泰勒公式）设在含有的区间内有直到阶的连续导数,则，可以按（）的方幂展开为.此式称为按的幂展开阶泰勒公式.其中称为拉格朗日型余项,介于与之间.证明：不妨设.令,,由条件知：(连续次使用柯西中值定理可以证明),,显然,.那么,其中，所以,介于与之间.另证：因为在含有的区间
5、内有直到阶的连续导数,所以对于，可将写成为求出的值，引进辅助函数显然，在区间上连续（设），在区间内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点，使得，因为化简整理得所以，而由，于是，介于与之间.在公式中当时，公式可化为麦克劳林公式其中或令，则例1求的阶麦克劳林公式.解因,,其中，那么,（）.例2求的麦克劳林公式.解因,.有,,，那么,(或都可以)其中：,.（或，）特别地：时，,；时，,；时，,.例3按的乘幂展开多项式.解,所以.二、泰勒级数1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数.由泰勒公式的学习知道，我们可以用
6、多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？2.问题：已知函数有.问：(1)对于一般的函数是否也有？(2)如果能展开,项的系数如何确定?(3)展开式是否唯一?(4)在什么条件下函数才能展开成幂级数?3.【定理】（TaylorTh）设在内具有任意阶导数,且，则在内有.其中为的拉格朗日型余项.证明由于.所以等式两边取极限,.4．函数在点有泰勒展式在有任意阶导数且.注意：1）函数在点处可以展开为Taylor级数时，其展式是唯一的.因为泰勒系数是唯一的.2）为在点的Taylor级数，等式在时成
7、立.5．泰勒级数与麦克劳林级数设在点具有任意阶导数，则称(1)为在点的泰勒级数,记作.(2)称为的麦克劳林级数,记作.注意问题:在点具有任意阶导数，那么级数在收敛区间内是否收敛于？例:函数在点处任意可导,且,于是,显然,.结论：当级数收敛于时，即时有泰勒展式.应用举例：例4求函数在点处的泰勒级数:（1），（2）提示：小结：1.函数在点的泰勒公式为其中余项为,介于与之间.公式成立的条件是:在点的邻域内有直到阶的导数.2.函数在点的泰勒展式为，其系数为泰勒系数.当时，的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.泰
8、勒定理成立的条件是:在点邻域内的各阶导数存在且.3．在近似计算中先要写出函数的级数表示式，再取n的特殊值即可得到所要近似值.课后记：存在问题：不能区分泰勒公式与泰勒级数.§7.6某些初等函数的幂级数展开式教学目的：熟练掌握Taylor公式、TaylorTh展式；能灵活运用导出公式间接求出函数的泰勒展式.
