量子力学讲义第二章讲义.doc

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1、第二章一维势场中的粒子§2.2方势一、一维运动当粒子在势场V(x,y,z)中运动时，其Schrodinger方程为：若势可写成：V(x,y,z)=V1(x)+V2(y)+V3(z)形式，y(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)y1(x)二、一维无限深势阱这是定态问题一维无限深势阱（0~a）的求解解：（1）列出各势域的S—方程，令，方程可简化为：(2).写出通解（3）使用波函数标准条件（单值性一般在球坐标系中考虑）1)有限性：当，当，当，，则解为2)连续性：，，，，能量是量子化的，不连续（4）由归一化条件定系数A标准形式是(0~a)能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第

2、二激发态依次类推。讨论其能量本征能为：，1、在无限深势阱中，粒子的能量是分立，不是连续的；时能量最小，叫基态能量（）或零点能。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般地说，束缚态所属的能级是分立的。2、与x有n-1个节点。除端点外,基态波函数无节点,第一激发态有一个节点,第k激发态有k个节点.3、函数在全空间连续,但微商在x=0和a点不连续。对无限深势阱，是不连续的；对有限深势阱，是连续的。如果区域的势为，则必为0，今后不必重新解；三、宇称(1)空间反射：空间矢量反向的操作。(2)此时如果有：称波函数具有正宇称（或偶宇称）；称波函数具有负宇称(或奇宇称)；(

3、3)如果在空间反射下，则波函数没有确定的宇称。四、有限深对称方势阱a为阱宽，V0为势阱高度。求束缚态(0

4、6)(7)(4)、(6)两式相加减，分别得(8)(5)、(7)两式相加减，分别得(9)(8)与(9)消去A、B，得(10)消去R，得解出，得(11)(10)式消去S，得(3).透射系数和反射系数①、透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数,用T表示；②、反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数,用F表示；几率流密度矢量：，则入射波几率流密度，反射波几率流密度：对透射波，所以透射波几率流密度：于是透射系数为:同理得反射系数：由以上二式显然有F+T=1，这是粒子数守恒的表现，ii)E>V0时，不必重新去解因，当E>V0时，b是虚数，故可令

5、：b=ik'，其中。这样把前面公式中的b换成ik'并注意到：sinik'a=isinhba由上可知：F¹0，即有部分反射，这是一种量子效应；当F=0，，即时，T=1，粒子产生完全透射，没有反射，这种现象称为共振透射，产生共振透射的能量称为共振能量。隧穿效应（tunneleffect）：粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。3、讨论(1)、当ba>>1时透射系数则变为：当k»b（同一数量级）时，，于是：粗略估计，认为k≈b（相当于E≈V0/2）,则T0=4是一常数。(2)、任意形状的势垒可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。对每一小方势垒透射系数则

6、a→b贯穿势垒V(x)的透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。§2.2线性谐振子一、引言1、何谓谐振子量子力学中的线性谐振子就是指在的势场中运动的粒子。2、为什么研究线性谐振子二、线性谐振子1、方程的建立线性谐振子的Hamilton量：则Schrödinger方程可写为：(1)为简单计，引入无量纲参量x代替x，令，其中，则方程可改写为(2)此式是一变系数二阶常微分方程。其中2、求解(1).求渐近解当x→±∞时，l<

7、程(2)的解为，(2).u(x)满足的方程将y(x)表达式代入方程(3)得关于待求函数u(x)所满足的方程：(4)——二阶线性变系数常微分方程此即Hermite方程。(3).解u(x)——级数解x=0是方程(4)的常点，所以u(x)可以表示为泰勒级数则方程变成：即：从而导出系数bk的递推公式：由上式可以看出：因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：b0≠0,b1=0.→ueven(x);只含偶次幂项b1≠0,b0=0.→uodd(x).只含奇次幂项则通解可记为：3、应用标准条件u(x)是一个幂级数，故