量子力学讲义第三章讲义

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1、第三章力学量用算符表达§3.1算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。表示Â把函数u变成v，Â就是这种变换的算符。为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符其中c1,c2是任意复常数，y1,y2是任意两个波函数。例如：动量算符，单位算符I是线性算符。2、算符相等若两个算符Â、对体系的任何波函数y的运算结果都相同，即，则算符Â和算符相等记为。3、算符之和若两个算符Â、对体系的任何波函数y有：，则称为算符之和。，4、

2、算符之积算符Â与之积，记为，定义为y是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即。5、对易关系若，则称Â与不对易。若，则称Â与对易。若算符满足，则称和反对易。例如：算符x,不对易16证明：(1)(2)显然二者结果不相等，所以：因为y是体系的任意波函数，所以对易关系同理可证其它坐标算符与共轭动量满足，但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。，，，，，，写成通式(概括起来)：(1)其中或量子力学中最基本的对易关系。注意：当Â与对易，与Ĉ对易，不能推知Â与Ĉ对易与否。6、对易括号(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易

3、括号：这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：不难证明对易括号满足下列代数恒等式：1)2)3)，，4)——称为Jacobi恒等式。16角动量的对易式：(1)在直角坐标系中角动量算符的对易关系角动量算符在直角坐标中的三个分量可表示为，，（要求会证明）是角动量算符的定义式。式中eabg称淡Levi-Civita符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：其中或证明：或或(2)在球坐标系中角动量算符的对易关系只与q,j有关，与r无关，而且只与j有关。16或其中，可称为径向动量算符。(3)角动量升降阶算符(I)定义，显然有如下性质，这两个算符不是厄密算符。(II)对易关

4、系，，，7、逆算符(1).定义:设Ây=f,能够唯一的解出y，则可定义算符Â之逆Â-1为:(2).性质I:若算符Â之逆Â-1存在，则,(3).性质II:若Â,均存在逆算符,则8、算符函数设给定一函数F(x)，其各阶导数均存在，其幂级数展开收敛则可定义算符Â的函数F(Â)为:补充：定义一个量子体系的任意两个波函数(态)y与j的“标积”是指对体系的全部空间坐标进行积分，dt是坐标空间体积元。例如16对于一维粒子：对于三维粒子：可以证明9、转置算符算符Â的转置算符定义为即式中y和j是两个任意波函数。例如：（证明）可以证明：10、复共轭算符算符Â的复共轭算符Â*就是把Â表

5、达式中的所有量换成其复共轭。但应注意，算符Â的表达式与表象有关。11、厄米共轭算符算符Â之厄米共轭算符Â+定义为：或厄密共轭算符亦可写成：可以证明:12、厄米算符(自共轭算符)(1).定义：满足下列关系的算符称为厄米算符.或(2).性质16性质I：两个厄密算符之和仍是厄密算符。性质II：两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。三、算符的本征方程如果算符Â作用于函数y的结果，等于某一常数l乘以y，即(2)那么称l为算符Â的本征值，y为算符Â的属于本征值l的本征函数。方程(2)称为算符Â的本征方程。§3.2动量算符和角动量算符一、动量算符1、动量算符的厄密性

6、（证明）2、动量算符本征方程，即采用分离变量法，令：代入动量本征方程Þ(1)可取任意实数值，即动量算符的本征值组成连续谱，相应的本征函数为(1)式所表示的，这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数。(2).归一化系数的确定①、归一化为d函数取，则归一化为函数，(2)（3）一维情况：②、箱归一化——P70-72（略去不讲）箱归一化方法仅对平面波适用，而归一化为d函数方法对任何连续谱都适用。二、角动量算符1、角动量算符的形式(1)、直角坐标系16它在直角坐标系中的三个分量是：角动量平方算符(2)、球坐标利用上述变换关系可以得到在球坐标中的表示式是只与q,j

7、有关，与r无关，而且只与j有关。2、的本征值和本征函数为了求出的本征值lz和本征函数y(j)，我们解下列本征方程：Þ的本征值为：式中的m习惯上称为磁量子数。相应本征函数：角动量在空间的任何方向的投影都是量子化的，它的值只能是0,±ħ,±2ħ,¼，而不能是其他的值。3、的本征值和本征函数设的本征值为，本征函数为Y(q,j)，本征方程为16在球坐标系中，只与q,j有关，所以，则(6)令，，其中Q(q)只是q的函数，y(j)只是j的函数，由(6)式可得Þ的本征值为l(l+1)ħ2，所属的本征函数为Ylm(q,j)，；Ylm(q,j)正交归一条件为：说明：(1)、由上面结

8、果可知的本