高一数学抽象函数课件.pptx

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1、1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是（）AA．奇函数B．偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数第7讲抽象函数2．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝()A．13B．213C.22D.13C3．设奇函数f(x)满足：对∀x∈R有f(x＋1)＋f(x)＝0，则f(5)＝____.04．已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对x∈R都有f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2013)的值为_____.

2、－25．已知函数f(x)的定义域为R＋，并且对任意正数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则(1)f(1)＝____；0121．满足解析式f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)的是正比例函数型抽象函数．2．满足解析式f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)的是对数函数型抽象函数．3．满足解析式f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)的指数函数型抽象函数．考点1正比例函数型抽象函数例1：设函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求证：f(

3、x)是奇函数；(2)试问在－3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由．(1)证明：令x＝y＝0，则有f(0)＝2f(0)⇒f(0)＝0.令y＝－x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)．即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)解：任取x10⇒f(x2－x1)<0.且f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)>0.∴f(x1)>f(x2)．∴y＝f(x)在R上为减函数．因此f(3)为函数的最小值，f(－3)为函数的最大

4、值．f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴函数最大值为6，最小值为－6.(1)正比例函数型抽象函数的一般步骤为：f(0)＝0⇒f(x)是奇函数⇒f(x－y)＝f(x)－f(y)⇒单调性．(2)小技巧判断单调性：设x10⇒f(x2－x1)<0⇒f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)

5、数(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解不等式f(2x2－1)<2.例2：已知函数f(x)的定义域为{x

6、x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)＝1.(1)证明：对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x，x2＝－1，则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法(作差法、作商法)，函数的单调性是比较大小

7、的常用方法．运用不等式性质时应从结论出发，寻找解题的切入点．【互动探究】当f(x)＝lgx时，上述结论中正确结论的序号是_____.②③考点3指数函数型抽象函数例3：定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)求证：f(0)＝1；(2)求证：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)·f(2x－x2)＞1，求x的取值范围．(1)指数函数型抽象函数的一般步骤为f(0)＝1⇒(4)由f(x)

8、·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1得f(3x－x2)＞f(0)．又f(x)是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.(2)小技巧判断单调性：设x1>x2，x1－x2>0，则f(x1－x2)>1.f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)，得到函数是增函数．【互动探究】3．设指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则下列等式正确的有_________(填序号)．①③④思想与方法6．转化与化归思想解信息给予题例题：对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函

9、数：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1＋x2=1时，总有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．已知函数g(x)＝x2与h(x)＝2x－b是定义在[0,1]上的函数．(1)试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；(2)若函数h(x)是G函数，求实数b组成的集合．一般地，一个抽象函数都对