2010年考研数学线代知识模块八.doc

《2010年考研数学线代知识模块八.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、线代预测知识模块八：二次型的标准化与正定性考点1：二次型的矩阵表示以及二次型的秩【参考题目1】二次型的秩为【题目出处】数三2004年真题【详解】因为于是二次型的矩阵为,由初等变换得,从而,即二次型的秩为2.【参考题目2】已知二次型，则(1)求该二次型的矩阵和秩.（2）当该二次型的秩为2时，求用正交变换把二次型化成的标准形。【题目出处】海文名师授课团队讲义【详解】（1）等价于，故当时，的秩为2；当时，的秩为3。（2）当时，的秩为2，的特征值为4，4，0，其特征向量为则【参考题目3】设A为n阶实对称矩阵，秩（A）=n，是中元素的代数余子式(i,j=1,2

2、,…,n)，二次型（1）记把写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为;（2）二次型与的规范形是否相同？说明理由.【题目出处】数三2001年真题【详解】(1)由题设条件，（2）因为,所以由合同的定义知与合同.由实对称矩阵合同的充要条件：二次型与有相同的正、负惯性指数.可知，与有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形.考点2：二次型的标准形和规范形【参考题目4】已知二次型的秩为2，且是A的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是【题目出处】海文名师授课团队讲义【详解】由从是A的特征向量，有即解出得，从，知，于是是A的特征值。再由有，知是A的特征值。因此，在

3、正交变换下二次型的标准形是：考点3：用正交变换或配方法化二次型为标准形，线性无关向量组正交规范法的施密特方法【参考题目5】设矩阵（1）已知A的一个特征值为3，求y；（2）求矩阵P，使（AP）T（AP）为对角阵【题目出处】三模试卷【详解】（1）由特征值的定义有解得（2）∵，又是对称阵，即问题转化为求合同变换所对应的矩阵P，使P为对角阵又（一）配方法：考虑二次型令得∴则有（二）正交变换法①先求的特征值，得到，②求特征向量为，，显然正交，故只须单位化得，，的特征向为，单位化为令则考点4：正定二次型与正定矩阵【参考题目6】设A是3阶实对称阵，且满足，若是正定

4、矩阵，则k【题目出处】白金卡A模块讲义【详解】由知A的特征值是0或-2，那么的特征值是0或-2k，的特征值是1或1-2k。又由正定的充分必要条件是特征值全大于0，故。【参考题目7】设有元实二次型其中为实数.试问：当满足条件时，二次型为正定二次型.【题目出处】数三2000年真题【详解】根据定义，二次型正定是指对任何，恒有>0.由其逆否命题知，此条件等价于时。由题设知不可能，故等价于时有，亦即等价于方程组，只有零解。而上方程组只有零界的充分必要条件是其系数行列式（见式（2.1.1.2））.于是当时，上方程组只有零解。因而当时，对任意列向量，必有>0。由二

5、次型正定的定义知为正定二次型。