2008-2012河北省数学中考难题(压轴题).doc

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1、如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝．（2012）探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝________，AC＝________，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上(可与点A、C重合)，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．(当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0)(1)用含x，m或n的代数式表示S△ABD和S△CBD；(2)求(m+n)与x的函数关系式，并求(m+n)的最大值和最小值；(3)对给定的一个x的值，有时只能确定唯一的点D，指出

2、这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值．思路分析：考点解剖：本题综合考查了三角函数、勾股定理、一次函数、反比例函数以及图形的面积问题、圆与直线的位置关系，解题的关键在于熟练抓住问题中隐含的数量关系建立函数关系式，并应用运动变化的观念解决问题．解题思路：[探究]的问题中，则应用三角函数即可使问题分别化归到两个直角三角形中进行解答；[拓展]的问题中，问题(1)根据三角形的面积即可解决；问题(2)根据问题(1)中的两个三角形面积之和即为△ABC的面积，从而建立函数关系式，并根

3、据BD的最大值和最小值来确定(m+n)的最大值和最小值；问题(3)，可以看成是以点B为圆心的圆与边AC只有一个交点时，半径x的取值范围；[发现]当直线为AC所在的直线时，A，B，C三点到这条直线的距离之和最小．解答过程：解：在直角△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=13，cos∠ABC=，∴BH=AB•cos∠ABC=5，AH=12，∴CH=BC﹣BH=9．在△ACH中，∵∠AHC=90°，AH=12，CH=9，∴AC=15，∴S△ABC=BC•AH=×14×12=84．故答案为12，15，84；拓展拓展（1）由三角形的面积公式，得S△ABD=B

4、D•AE=xm，S△CBD=BD•CF=xn；（2）由（1）得m=，n=，∴m+n=+=，∵AC边上的高为==，∴x的取值范围是≤x≤14．∵（m+n）随x的增大而减小，∴当x=时，（m+n）的最大值为15；当x=14时，（m+n）的最小值为12；（3）x的求值范围是x=或13＜x≤14．发现：∵AC＞BC＞AB，∴过A、B、C这三点中距离最大的两点的直线就是过AC的直线，此时最小值为点B到AC的距离即AC边高的长度，为．规律总结：本题以图形面积为背景，考查了同学们对问题的探究能力．解答这类问题，往往从问题的特殊情况入手，探求一般性的结论．如图15

5、，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，-5），D（4，0）.（2011）(1)求c，b（用t的代数式表示）；（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，s=；（3）在矩形ABCD内部（不含边界），把横纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分

6、成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.图15答案：解：（1）把x＝0，y＝0代入y＝x2＋bx＋c，得c＝0，再把x＝t，y＝0代入y＝＋bx，得＋bt＝0，∵t＞0，∴b＝－t；（2）①不变.当x=1时，y=1-t，故M(1，1-t)，∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°.②==解=，得∵4＜t＜5，∴舍去，∴t=（3）＜t＜思路分析：考点解剖：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．解题思路：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O

7、与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）①当x=1时，y=1﹣t，求得M的坐标，易得AM=AD=t-1，则可求得∠AMP的度数，②由即可求得关于t的二次函数，当s=时，列方程即可求得t的值；（3）根据题意，将“好点”分为数量相等的两部分，可求两种特殊情况下的t值.将点（2，-3）的坐标代入，可求出；将点（3，-2）的坐标代入，可求出.∴＜t＜.规律总结：（1）当已知函数图象上点的坐标时，代入函数解析式，即可求待定系数；（2）图形面积的求解方法：①直接利用公式计算，②其他相关图形面积的和（差）；（3）求取值范围时，可以求起始位置和终止位置两个特殊位置

8、的值，从而确定取值范围.某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售，销售