(第8章)高斯平面直角坐标.doc

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1、第八章高斯平面直角坐标§1正形投影的基本公式一、地图投影的概念1.投影的必要性及其方法①投影的必要性：测量工作的根本任务，是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。因：1）椭球面上计算复杂；2）地图是画在平面图纸上，故，有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。②投影的方法：按一定的数学法则，得到如下的解析关系（函数关系）x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)式中B，L——椭球面上的大地坐标x，y——投影平面上的直角坐标按高斯投影方法得到的平面直角坐标x，y叫高斯平面直角坐标。2.投影的分类椭球面是不可展开的曲面（圆柱，圆锥面是

2、可展开曲面）。若展开成平面，必产生变形。投影按变形的性质可分为：等距离投影━投影后地面点见的距离不变等面积投影━保证投影后面积不变等角投影━投影后微分范围的形状相似3.测量采用的投影测量工作从计算和测图考虑，采用等角投影（又称正形投影、保角投影）。其便利在于：1）可把椭球面上的角度，不加改正地转换到平面上。（注：椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。为实用，需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向，称方向改化。方向改化是在平面上为实用而做的工作，非投影工作。且：①改化小，公式简单；②只在等级控制改化，图根控制、测图不顾及）椭球面上

3、投影面上BB′dcdadc′da′ACA′C′dbdb′2）因微分范围内投影前后图形相似，则大比例尺图的图形与实地完全相似，应用方便。二、正形投影1.正形投影的特性有微分三角形如图：对于保角投影：A′＝A；B′＝B；C′＝C所以长度比故，正形投影在一个点（微分范围）上，各方向长度比相同。即投影后保持图形相似。例如下图，对一个任意形状的微小图形，总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它，对于正形投影：aa′bb′ooee′cc′dd′但上述特点只在微分范围内成立。在广大范围内，投影前后图形保持相似是不可能的（否则意味着椭球面可以展

4、开）。因此，在大范围内，各处的长度比m必定不同。结论：正形投影的特性：长度比m与方向无关，但随点位而异。2.正形投影基本公式（充要条件）l+dlLGlB+dBP2BdSP1特定子午线设椭球面上有无限趋近的两点P1，P2椭球面上：P1(B，L)P2(B＋dB，L＋dL)大地线长度dS投影面上：p1(x，y)p2(x＋dx，y＋dy)大地线长度的投影dsxP2′dsP1′yo投影长度比为：下面分别推导上式中dS和ds：（dS和ds为曲线，但对微分线段，将其看成各自三角形的斜边）dS2＝(MdB)2＋(NcosBdl)2＝(MdB)

5、2＋(rdl)2＝r2[(dB)2＋(dl)2]引入等量纬度，则dq＝()dB（引入等量纬度纯粹为了推导公式方便）dS2＝r2[(dq)2＋(dl)2]另：x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)因q与B有确定的关系，l与L有确定的关系，所以有：x＝f1(q，l)y＝f2(q，l)微分得：故：P2MdBA90°-AP1rdl令：则：ds2＝Edq2＋2Fdq.dl＋Gdl2故：⑴由微分三角形知：所以：dl＝dq·tanA⑵将⑵代入⑴得：欲使投影为正形投影，长度比m应与方向(A)无关。为此：令：F＝0；E＝G即：⑶⑷则上式为：（可看

6、出m与方向无关）由⑶式可解得：⑸⑸式代入⑷得：⑹⑹式开平方得：⑺⑺取正号代入⑸得：⑻（注：⑺式取正号意义是：选取椭球面和平面坐标轴方向时，要求在经线方向上q增加时，平面上x也增加；沿纬线方向l增加时，y也增加）故，椭球面到高斯平面上的正形投影公式（柯西黎曼方程）：（此即正形投影的充分必要条件）3.证明复变函数x＋iy＝f(q＋il)当f′存在、且≠0时亦为正形投影证明如下：基本投影公式x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)亦可写成x＝f1(q，l)y＝f2(q，l)用复变函数形式写出为x＋iy＝f(q＋il)（q＋il—复变数；

7、）令x＋iy＝zq＋il＝u则z＝f(u)求导⑼⑽由⑼、⑽式可得⑾因z＝x＋iy故⑿⒀将⑿、⒀式代入⑾式得⒁⒁式虚实分开此即柯西黎曼方程。证毕。练习及作业：1、阅读§8.1，§8.22、理解：①、投影的必要性及方法。②、投影的分类及测量采用的投影类型。③、正形投影的特性。§2高斯投影及高斯平面直角坐标一、高斯投影的一般解释及其特性1.高斯投影的几何意义x中央子午线y边缘子午线Np1sP1Sp2P2o赤道S高斯投影的几何意义是横轴椭圆柱正形投影。设想一横椭圆柱面套在椭球上，与某一子午线（称轴子午线或中央子午线）相切。椭圆柱的中心

8、轴通过椭球中心，且与椭球短轴垂直。2.高斯投影的特性①高斯投影是正形投影；②中央子午线投影后应为x轴，且长度不变。3.高斯投影的一般解释轴子午线投影到椭圆柱面上展开为x轴。以O为投影中心，将赤道上各点投影到椭圆柱面上，为一长度变形直线。它垂直于x轴，称为y轴。椭球上任一段大地