勾股定理-学生版.doc

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1、勾股定理知识要点勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方和等于斜边的平方。关键词：直角三角形勾股定理的逆定理：若一个三角形的某两条边的平方和等于剩余的一条边的平方，则这个三角形一定是直角三角形。关键词：判定直角三角形直角三角形的性质：在直角三角形中，为斜边，为直角边，为直角边，是斜边上的高。、、分别是边、、的边长。勾股定理：。；其他性质：，,（一）面积计算【例1】如图所示，以直角三角形的三边向外作正方形，其面积分别为，，,且,,则?【例2】证明：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积，即：【例3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长

2、为，则正方形，，，的面积之和为。ABCD7cm【例1】如图，大正方形由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成。若大正方形的面积为，每个直角三角形两条直角边的和是，求中间小正方形的面积。【例2】如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以直角边为边，分别向外作正方形②和②’，……，依此类推，若正方形①的边长为，则正方形⑦的边长为。【例3】园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知米，米，米，米，且,这块草坪的面积是（）【例1】四边形中，，，，，，求四边形的面积。【例2】如图，有一块地，已知，，，，，。求这块地的面积。【例3】（第七届小学

3、“希望杯”全国数学邀请赛六年级第试）如图所示，已知长方形的长是宽的倍，对角线的长是，则长方形的面积是。【例4】如图，在线段上，和都是正方形，面积分别是平方厘米和平方厘米。求三角形的面积等于多少平方厘米？【例1】（小学华罗庚金杯赛模拟题）如图所示，直角三角形的两个直角边分别为厘米和厘米。问下图中个正方形面积之和比个三角形面积之和大多少？【例2】用一张斜边长为的红色直角三角形纸片，一张斜边为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，如图所示拼成一个直角三角形。问：红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少？【例3】（年日本小学算术奥林匹克大赛高小组初赛）沿直线将一个长方形剪掉一个角后形成一个五边形

4、，已知这个五边形条边的长度分别是厘米、厘米、厘米、厘米、厘米（未必是按顺序的）。这个五边形的面积是________平方厘米。直角三角形的构造【例1】观察下列各组数，能够构成直角三角形三边的有哪些？并说明理由,,；,,；,,；,,【例1】已知一个等腰直角三角形的斜边长为，求这个直角三角形斜边上的高。【例2】如图所示，大正方形由小正方形和四个全等的直角三角形组成。试说明。（不直接应用勾股定理）【例3】如图所示正方形由一个小正方形和四个全等的直角三角形构成，请根据这个图形证明勾股定理。【例4】在一块平地上，张大爷家屋前米远处有一棵大树。在一次强风中，这棵大树从离地面米处折断倒下，量得倒下部分的

5、长是米。出门在外的张大爷担心自己的房被倒下的大树砸倒。大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？【例5】在布置新年联欢会的会场时，小虎身高米，他准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为米的梯子，要想把拉花挂在高米的墙上，小虎应把梯子的底端放在距离墙最远________米处？【例1】一架方梯长米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米，这个梯子顶端距地面有多高？如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？AA′BAB′OA【例2】如图：边长为的正方形中，是的中点，且，证明【例3】已知：如图，在中，，是边上的中线，于，求证：【例1】（年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛（一））三角形中，线段、

6、分别是、边上的中线，且与互相垂直，如图所示，已知、。请问等于多少？【例2】（年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛（二））将矩形分成四个全等的矩形，如图所示。若，，请问的长度是多少厘米？【例3】为矩形内一点，已知，，。求【例1】如下图，直角三角形，及其边上所连的三个正方形、和。请根据这个图形，证明勾股定理。【例2】如图：边长为的正方形中，是的中点，且，证明。【例3】（年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛（二））将矩形分成四个相同的矩形，如图所示。若，，请问的长度是多少厘米？最短路程【例1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物

7、，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是_________。【例2】一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是____________.AB【例3】如图所示，为一个长、宽、高分别为、、的木盒，、是木盒上的两点，，，（1）问在木盒内最长能放进一根多长的硬木棒（木棒很细）？（2）一只蚂蚁从点爬到点的最短路程是否会小于？图形剪拼【例1】（小学奥林匹克训练题）把下图所示的纸片分别剪开后各拼成一个正方形。在