欧拉平衡微分方程.ppt

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1、一、欧拉平衡微分方程的推导如图2.5，在平衡液体中，取一微小六面体，为研究的方便，使其各边分别平行于坐标轴，边长分别为：dx,dy,dz,其形心点为M(x,y,z)，点M的压强为p(x,y,z)图2.5由于六面体各面的形心到点M的距离很小,压强在M点附近的变化可用泰勒级数表示,且可忽略二阶以上的微量,于是：分析作用于六面体表面的力：（为简化，只讨论X方向，Y，Z方向同理可得）1.表面力：只有静水压力a'b'd'c'面上的中心点M1（x-dx/2，y，z），其压强为：abdc面上的中心点M2（x+dx/2，y，z），其压强

2、为：图2.5M1M2单位质量力在各坐标轴方向的分量为：X，Y，Z，六面体的质量为：2.质量力F：根据平衡条件∑Fx=0，则有：除以dxdydz，得：同理可得：(2.2)(2.3)欧拉平衡微分方程：表明，在静止液体中,静水压强沿某方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。(2.3)二、欧拉平衡微分方程的综合形式将欧拉平衡微分方程分别乘以dx，dy，dz，后相加得：（2.4）—综合形式（压强差公式）（2.4）式左边是p(x,y,z)的全微分，右边括号内各项之和也应是某一函数的全微分，这个函数是U(x,y,z)，称为质量力的

3、势函数,简称力势函数。有力势函数存在的力场，叫势场。（2.4）三、质量力的势函数、有势力、等压面当力势函数存在时，有：所以：（2.5）只有当质量力是有势力时，液体才处于平衡状态（2.5）（2.5）表明压强在空间的变化是由质量力引起的.等压面：在同一种连续液体中，由压强相等的各点所组成的面。在等压面上，压强p=常数(const)，于是：U=常数(const)，所以等压面也是等势面等压面的微分方程：即：（2.6）—等压面的微分方程dx，dy，dz是单位质量力的微小位移在各坐标轴方向的投影。（2.6）表明：单位质量力所做的微功

4、等于零.由于质量力和位移都不为零，所以在静止液体中质量力与等压面正交。因此，在质量力只有重力时，等压面为一水平面。常见的等压面：1.液体的自由表面2.不相混合的两种液体的交界面图2.6