高中数学联赛平面几何题.doc

《高中数学联赛平面几何题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、全国高中数学联赛平面几何题ABCDEFMN1.(2000)如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．2.(2001)如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：(1)OB⊥DF，OC⊥DE；(2)OH⊥MN．3.(2002)4.(2003)过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上

2、取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．P5.(2004)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长。6.(2005)7.(2006)以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于点Ci(i＝0，1).在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧交B1A的延长线于点P1；以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧交B1C0的延

3、长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧，交AB0的延长线于P0¢.试证：⑴点P0¢与点P0重合，且圆弧与相内切于点P0；⑵四点P0，Q0，Q1，P1共圆．8.(2007)如图，在锐角△ABC中，AB

4、的切线，，求的最小值．参考答案1.(2000)证明：连结MN、BD，∵FM⊥AB，FN⊥AC，∴A，M，F，N四点共圆.∴∠AMN=∠AFN,∴∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°，即MN⊥AD.∴SAMDN=AD·MN∵∠CAF=∠DAB，∠ACF=∠ADB，∴△AFC∽△ABCAB·AC=AD·AF.又AF是过A、M、F、N四点的圆的直经，∴=AFAFsin∠BAC=MN.∴AB·AC·sin∠BAC=AD·AF·sin∠BAC=AD·MN=SAMDN2.．(2001)证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆∴∠BDF＝∠BAC又∠OBC＝(18

5、0°－∠BOC)＝90°－∠BAC∴OB⊥DF．(2)∵CF⊥MA∴MC2－MH2＝AC2－AH2①∵BE⊥NA∴NB2－NH2＝AB2－AH2②∵DA⊥BC∴BD2－CD2＝BA2－AC2③∵OB⊥DF∴BN2－BD2＝ON2－OD2④∵OC⊥DE∴CM2－CD2＝OM2－OD2⑤①－②＋③＋④－⑤，得NH2－MH2＝ON2－OM2MO2－MH2＝NO2－NH∴OH⊥MN另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则∴直线AC的方程为，直线BE的方程为由得E点坐标为E()同理可得F()直线AC的垂直平分

6、线方程为直线BC的垂直平分线方程为由得O()∵∴OB⊥DF同理可证OC⊥DE．在直线BE的方程中令x＝0得H(0，)∴直线DF的方程为由得N()同理可得M()∴∵kOH·kMN＝－1，∴OH⊥MN．4.(2003)．证明：联结AB，在△ADQ与△ABC中，∠ADQ=∠ABC，∠DAQ=∠PBC=∠CAB故△ADQ∽△ABC，而有，即BC·AD＝AB·DQ　　又由切割线关系知△PCA∽△PAD得　；　　同理由△PCB∽△PBD得　　　又因PA＝PB，故，得　AC·BD＝BC·AD＝AB·DQ　　又由关于圆内接四边形ACBD的托勒密定理知　AC·BD＋BC·A

7、D＝AB·CD　　于是得：AB·CD＝2AB·DQ，故DQ＝CD，即CQ＝DQ　　在△CBQ与△ABD中，，∠BCQ＝∠BAD，于是△CBQ∽△ABD，　　故∠CBQ＝∠ABD，即得∠DBQ＝∠ABC∠PAC．5.(2004)解：由题知：，①又BC=25，BD=20，BE=7，故CD=15，CE=24.由①可解得：AD=15，AE=18.于是点D是的斜边AC的中点，DE=15.连接DF,因为点F在以DE为直径的圆上，，故点F为线段AE中点，AF=9.因为G、F、E、D四点共圆，D、E、B、C四点共圆，所以，于是，延长AH交BC于P，故：②又H为的垂心，故，

8、，AP=CE=24，于是7.(2006)关于⑴的证明要点：①说明C