2012全国高中数学联赛挑战极限【平面几何试题】.doc

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1、2012全国高中数学联赛挑战极限--------[平面几何试题]（2012.09.23）1.过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．PABCDQ证明：连结AB，在△ADQ与△ABC中，∠ADQ=∠ABC，∠DAQ=∠PBC=∠CAB　故△ADQ∽△ABC，而有，即BC·AD＝AB·DQ10分　　又由切割线关系知△PCA∽△PAD得　；　　同理由△PCB∽△PBD得　20分　　又因PA＝PB，故，得　AC·BD＝BC·AD＝AB·DQ30分　　又由关于圆内接四边形ACB

2、D的托勒密定理知　AC·BD＋BC·AD＝AB·CD　　于是得：AB·CD＝2AB·DQ，故DQ＝CD，即CQ＝DQ40分　　在△CBQ与△ABD中，，∠BCQ＝∠BAD，于是△CBQ∽△ABD，　　故∠CBQ＝∠ABD，即得∠DBQ＝∠ABC∠PAC．2、如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于．⑴求证：；⑵在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内心分别为，，求证：，，，四点共圆．[解析]：⑴连，．由于，，，，共圆，故是等腰梯形．因此，．连，，则与交于，因为，所以．同理．于是，．故四边形为平行四边形．因此（同底，等高）．又，，，四

3、点共圆，故，由三角形面积公式于是．⑵因为，9所以，同理．由得．由⑴所证，，故．又因，有．故，从而．因此，，，四点共圆．3.一圆切于两条平行线，第二个圆切于，外切于，第三个圆切于，外切于，外切于，交于，求证是的外心。（35届IMO预选题）证明：由∥，知，从而有，即三点共线。同理由∥，可得三点共线。又因为，所以四点共圆，，即点在与的根轴上。又因为在与的根轴上，所以是与的根轴。同理是与的根轴，因此为根心，且有，即是的外心。95.如图，给定凸四边形，，是平面上的动点，令．（Ⅰ）求证：当达到最小值时，四点共圆；（Ⅱ）设是外接圆的上一点，满足：，，，又是的切线，，求的最小值．图1[解法一]（Ⅰ）如

4、图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点，有．因此．因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号，因此当且仅当在的外接圆且在上时，．…10分又因，此不等式当且仅当共线且在上时取等号．因此当且仅当为的外接圆与的交点时，取最小值．故当达最小值时，四点共圆．…20分（Ⅱ）记，则，由正弦定理有，从而，即，所以，整理得，　　　　…30分解得或（舍去），故，．由已知=,有，即，整理得，故，可得，………40分从而，，为等腰直角三角形．因，则．9又也是等腰直角三角形，故，，．故．…50分[解法二]（Ⅰ）如答一图2，连接交的外接圆于点（因为在圆外，故在上）．答一图2过分别作的垂线，两两相交得，易知在内，从而在内

5、，记之三内角分别为，则，又因，，得，同理有，，所以∽．…10分设，，，则对平面上任意点，有，从而．由点的任意性，知点是使达最小值的点．由点在上，故四点共圆．　…20分（Ⅱ）由（Ⅰ），的最小值，记，则，由正弦定理有，从而，即，所以，整理得，　　　　　　　　　…30分解得或（舍去），故，．由已知=,有，即，整理得，故，可得，…40分所以，为等腰直角三角形，，，因为，点在⊙上，，所以为矩形，，故，所以．…50分6.在直角三角形ABC中，，△ABC的内切圆O分别与边BC，CA，AB相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若，求证：．证明：设AE=AF=x，BD＝BF

6、＝y，CD＝CE＝z，AP＝m，PD＝n．因为，所以．延长AD至Q，使得，连接BQ，CQ，则P，B，Q，C四点共圆，令DQ＝l，则由相交弦定理和切割线定理可得，①9．②因为∽，所以，故．③在Rt△ACD和Rt△ACB中，由勾股定理得，④．⑤③－②，得，⑥①÷⑥，得，所以，⑦②×⑦，结合④，得，整理得．⑧又⑤式可写为，⑨由⑧，⑨得．⑩又⑤式还可写为，把上式代入⑩，消去，得，解得，代入得，，将上面的x，y代入④，得，结合②，得，从而，所以，，即．6.给定锐角三角形PBC，．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O.过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线

7、段BC，AD的中点分别为M，N．（1）若A，B，C，D四点共圆，求证：；（2）若，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论．解（1）设Q，R分别是OB，OC的中点，连接EQ，MQ，FR，MR，则，又OQMR是平行四边形，所以，由题设A，B，C，D四点共圆，所以，于是图19，所以，故，所以EM＝FM，同理可得EN＝FN，所以．（2）答案是否定的．当AD∥BC时，由于，所以A，B，C，D四点不共圆，但此时仍然有，证明如下：如图2所示，设S，Q