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1、第八章猜想与反驳第一节归纳猜想第二节类比猜想第三节反例反驳第四节猜想能力的培养第一节归纳猜想归纳猜想是数学素养的一个重要方面,是合情推理的表现形式之一。猜想——明智的猜想,是发现的主要途径而归纳是猜想的一个重要前提工作,或者二者是同步的.从具体的问题情境,发现规律,然后进行形式化、数学化,这是数学发现的重要步骤.在这个过程中,学生的心理活动是丰富的,而且,正是由于这样的过程,学生的数学推理、问题解决和数学创造等才逐步形成;当这个过程相对比较成熟,形成稳定的心理结构,那么学生就获得了数学素养重要的一个重要方面。1
2、.归纳猜想的一般过程归纳是数学的基本思考方式也是做数学的基本功。在我们的生活和学习过程中,归纳猜想起着重要的作用.许多的规律、数学定理和概念等都是人们通过归纳猜想,然后进行演绎证明所确立的.当遇到一个问题情境,我们首先对此情境进行认真观察，选择几个特殊的案例,进行比较、试验,试图发现蕴含着的数学模式;许多重要的数学发现就是在这个过程中闪现出来的,此时归纳猜测就形成了,也就是在问题解决者的头脑中,本质的事物已经出现.通过形式化、符号化,进行数学表达,那么数学猜想也就完成了.但是,还要有最后一个环节：回到问题情境中
3、,对已经得到的数学归纳猜想进行检验,这是学生最容易遗忘,然而必不可少的阶段.只有通过检验,归纳猜想才算有了初步的成果,至于结果的正确性,还需要数学的演绎推理进行证明,这属于数学形式逻辑工作这个过程是属于从特殊到一般的过程.事实上,在人们进行归纳过程中,也存在从一般到特殊的归纳.克鲁捷茨基在《中小学生数学能力心理学》中描述了两种不同角度的归纳：一方面就是学生可以看出一般的能力,但是对于他来说有些还是不清晰和孤立的……其意思就是从特殊中可以归纳一般,正如我们上面所叙述的.另一方面就是:学生从他所了解的一般看出特殊或
4、者具体的例子……也就是从一般可以归纳特殊。例如NCTM在《中学数学教学》中设计了这样一个例子:例2在一个3×3的方格图案中,除了中间的格子之外,其余8个小格子都涂上了阴影(如图3).如果有一个25×25的方格图案,四条边上的小格子都涂上了阴影,那么有多少块小方格涂上了阴影?如果是一个n×n的方格图案呢?图3其实,这个例子和前面的例子类似,许多学生也正是从特殊到一般归纳猜想出结论的.然而,有个学生并非如此,他首先从一般情况考虑,他指出:我在数3×3的方格图案中发现,第一条边有3个阴影方格,第二条边少了1个,是2个
5、,第三边类似,第四边就少了2个(如图4),所以我就推出:s+(s-1)+(s-1)+(s-2)=4s-4,那么对25×25的方格图案,只要s=25就可以了,所以答案就是4?25-4=96.至于n×n的情况,只要把s换成n就可以了……在我们的数学研究过程中,从特殊到一般的在我们的数学研究过程中,从特殊到一般的归纳猜想是比较常使用的方法。也是是一种重要的合情推理能力,这是新课程对学生提出的新的要求,也是学生进行数学创造性学习必不可少的能力.归纳猜想,可以把具体形象的情境和数学形式化结合在一起进行,或者在形式化内部之
6、间进行符号化的形式抽象,处理数学化的归纳猜想.2.具体与形式相结合的归纳猜想在问题解决中,学生使用数学问题结构可以进行合理归纳猜想.把具体的问题情境和形式的数学符号结合,是重要的归纳猜想方式.在归纳猜想中,激发原有的图式——认知结构,同化新的数学知识,或者顺应新的数学情境,是成功进行归纳猜想的重要过程.再如NCTM有这样一个问题情境:例3?在一个凸八边形有多少条对角线?写出表示凸n边形对角线的条数的表达?(此问题也出现于我国初中新课程数学教科书)这个问题提供给没有学过代数的学生.显然,他们还不能脱离具体情境,因
7、此,许多学生首先画出几个简单的多边形进行观察(如图5).与此同时,画出表格帮助他们从形式上进行分析.例如有学生H画出表2来进行归纳猜想.图5表2边对角线获得过程每个顶点引出的对角线数目30(s-3)s÷2042(s-3)s÷2155(s-3)s÷2269(s-3)s÷23虽然,学生H通过列举几个基本的简单图形寻找模式,她把相应的对角线的条数也在表格中写了出来,但是她并没有从形式化的数据上进行归纳猜想.在她以往的数学认知结构中,关于数据的归纳还没有形成,所以,她结合具体图形,寻找问题的解决方案.她发现从多边形的每
8、个顶点出发,引出的对角线和边数有关系,总是比边数少3条,因此她寻找到了数学的模式归纳猜想就出现了:假设边数为s,则从每个顶点出发的对角线的条数就是s-3,两者相乘,得到s(s-3),然而对角线连结两个顶点,所以顶点都计算了两次,要再除以2,得到公式:(s-3)s÷2.她没有因此而结束,接着她选择了七边形进行了验证,计算结果和事实一致,这样她才得出最后的数学表达式:(s-3)s÷2这个公
