第7章 多元函数微积分初步ppt课件.ppt

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1、第7章多元函数微积分初步7.1多元函数的概念及其极限与连续7.2偏导数、高阶偏导数7.3全微分7.4多元复合函数、隐函数的导数7.5多元函数的极值7.6多元函数微分法的应用7.7二重积分复习题77.1多元函数的概念及其极限与连续7.1.1多元函数的概念在很多自然现象和实际问题中所涉及的往往是多个变量之间的依存关系.例如,矩形面积公式S=xy描述了面积S依赖于长x与宽y这两个量的关系.一定质量的理想气体的压强P、体积V和绝对温度T之间具有关系:(其中R为常数).下面我们给出二元函数的定义.定义7.1设变量x、y和z,如果当变量x、y在一定范围内任取一对值(x,y)时,按照

2、某一确定的对应法则,变量z总有唯一确定的值z与其相对应,则称变量z为变量x、y的二元函数,记作z=f(x,y)其中x、y称为自变量,函数z称为因变量.自变量x、y的变化范围称为函数z的定义域.类似地,可以定义三元函数以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.函数的对应法则与定义域是多元函数的两个要素.显然,我们可以用xOy坐标面上的点P(x,y)来表示二元函数的自变量取值.因此,二元函数z=f(x,y)的定义域是xOy平面上的点集.一般地,二元函数的定义域是使函数有意义的有序实数组的全体.例如,函数z=ln(x+y)的定义域为适合x+y＞0的点(x,y)的

3、全体,即平面点集(如图7-1(a)所示):｛(x,y)｜x+y＞0｝图7-1函数的定义域为适合x2+y2≤1的点(x,y)的全体,即平面点集(如图7-1(b)所示):｛(x,y)｜x2+y2≤1｝把自变量x、y和因变量z当作空间直角坐标系中点的坐标,当P(x,y)取遍定义域D中的每对值时,动点M(x,y,f(x,y))的轨迹就是二元函数z=f(x,y)的图形,一般地它是一曲面.而其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影(如图7-2(a)所示).例如,函数的图像就是放置在xOy平面上的半球面如图(7-2(b)所示).图7-2在讨论二元函数时,要常用到邻域及区域的概念.邻域及

4、区域是满足一定条件的平面点集.到点P0(x0,y0)距离小于δ的点P(x,y)的全体,称为点P0的δ邻域,记作U(P0,δ)或U(P0)即若邻域不包含P0点,称为去心邻域.设E是一平面点集,P是平面上的一点.若存在点P的一邻域U(P),使U(P)E,则称P为E的内点(如图7-3(a)所示).若点P的任何一邻域中,既含有E中的点,又含有不属于E的点,则称点P为E的边界点.E的边界点的全体称为边界(如图7-3(b)所示).图7-3例如,点集｛(x,y)｜1≤x2+y2＜3｝的边界是圆周x2+y2=1和x2+y2=3.若点集E的点都是内点,则称E为开集.设E是开集,如果E内的

5、任意两点都可以用完全位于E内的折线连接起来,则称开集E为开区域(或区域).例如,点集｛(x,y)｜x+y＞0｝、｛(x,y)｜1＜x2+y2＜3｝都是开区域.区域连同它的边界,称为闭区域(或区域).例如,｛(x,y)｜1≤x2+y2≤3｝是闭区域.若一个开区域或闭区域的任意两点之间的距离不超过某一常数M＞0,这个点集就是有界的;否则,就是无界的.7.1.2二元函数的极限与连续与一元函数一样,我们下面讨论当自变量(x,y)趋向于定点(x0,y0)时函数z=f(x,y)的极限.但二元函数的情况要比一元函数的极限复杂得多,因为在xOy平面上点(x,y)趋向于点(x0,y0)的方

6、式可以多种多样.也就是说,如果当自变量(x,y)以任意方式趋向于(x0,y0)时,函数z=f(x,y)都无限接近于某一确定的常数A,我们就称A为函数z=f(x,y)当x→x0,y→y0时的极限.下面我们给出极限用“ε-δ”方式的定义.1二元函数极限的定义定义7.2设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个去心邻域内有定义,A是一确定的常数.若对于任意给定的正数ε,总存在某一正数δ,使得对于满足不等式的一切点P(x,y)∈D,恒有｜f(x,y)-A｜＜ε成立,则称A为函数z=f(x,y)当x→x0,y→y0时的极限,记作或为了区别于一元函数的极限,我们把二元函数

7、的极限称为二重极限.定理7.1(运算法则)若,那么2二元函数的连续性与一元函数一样,我们用函数极限说明二元函数的连续性的概念.定义7.3设点A(x0,y0)为函数f(x,y)的定义域D的一个内点,若(7-1)则称函数f(x,y)在点A(x0,y0)处连续.反之,函数z=f(x,y)在(x0,y0)处不满足上述定义,我们就称f(x,y)在点(x0,y0)处间断.若函数z=f(x,y)在点集D内的各点处都连续,则称函数f(x,y)在D内连续.二元连续函数具有与一元连续函数类似的性质(证明从略).(1)有限个连续函数的代数和仍是连