从数据到结论(人民大学吴喜之教授)07主成份因子分析

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1、主成分分析和因子分析汇报什么？假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，比如固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等等。如果让你向上面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都原封不动地摆出去吗？当然不能。你必须要把各个方面作出高度概括，用一两个指标简单明了地把情况说清楚。主成分分析每个人都会遇到有很多变量的数据。比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据；各个学校的研究、教学等各种变量的数据等等。这些数据的共同特点是变量很多，在如此多

2、的变量之中，有很多是相关的。人们希望能够找出它们的少数“代表”来对它们进行描述。本章就介绍两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法：主成分分析（principalcomponentanalysis）和因子分析（factoranalysis）。实际上主成分分析可以说是因子分析的一个特例。在引进主成分分析之前，先看下面的例子。成绩数据（student.sav）100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）。从本例可能提出的问题目前的问题是，能不能把这个数据的6个变量用一两个综合变量来表示呢？这一两个综合变

3、量包含有多少原来的信息呢？能不能利用找到的综合变量来对学生排序呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对企业，对学校进行分析、排序、判别和分类等问题。主成分分析例中的的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是6维空间中的一个点。我们希望把6维空间用低维空间表示。先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二维正态的假定下是可能的）那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，

4、那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。主成分分析当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道理。主成分分析对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看

5、见罢了。首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成了。注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分(principalcomponent)。主成分分析正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约85%即可，其实，这

6、只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定。对于我们的数据，SPSS输出为这里的InitialEigenvalues就是这里的六个主轴长度，又称特征值（数据相关阵的特征值）。头两个成分特征值累积占了总方差的81.142%。后面的特征值的贡献越来越少。特征值的贡献还可以从SPSS的所谓碎石图看出怎么解释这两个主成分。前面说过主成分是原始六个变量的线性组合。是怎么样的组合呢？SPSS可以输出下面的表。这里每一列代表一个主成分作为原来变量线性组合的系数（比例）。比如第一主成分为数学、物理、化学、语文、历史、英语这六个变量的线性组

7、合，系数（比例）为-0.806,-0.674,-0.675,0.893,0.825,0.836。如用x1,x2,x3,x4,x5,x6分别表示原先的六个变量，而用y1,y2,y3,y4,y5,y6表示新的主成分，那么，第一和第二主成分为这些系数称为主成分载荷（loading），它表示主成分和相应的原先变量的相关系数。比如y1表示式中x1的系数为-0.806，这就是说第一主成分和数学变量的相关系数为-0.806。相关系数(绝对值）越大，主成分对该变量的代表性也越大。可以看得出，第一主成分对各个变量解释得都很充分。而最后的几个主成分

8、和原先的变量就不那么相关了。可以把第一和第二主成分的载荷点出一个二维图以直观地显示它们如何解释原来的变量的。这个图叫做载荷图。该图左面三个点是数学、物理、化学三科，右边三个点是语文、历史、外语三科。图中的六个点由于比较挤，不易分清，但只要认识到这些点的坐标是前面