材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法.docx

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1、第十三章能量方法§13.1概述§13.2杆件应变能的计算§13.3应变能的普通表达式§13.4互等定理§13.5卡式定理§13.6虚功原理§13.5单位载荷法莫尔积分§13.6计算莫尔积分的图乘法§13.1概述回顾：前面学习了哪些求变形（位移）的方法？拉压变形——作图法弯曲变形——积分法、叠加法1.能量法定义：在外力作用下，利用功能原理求结构指定点位移的方法叫能量法。工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以求结构任一指定点的任意方向的位移。能量法的特点能量法是求位移的普遍方法1．解题简单、适用性广；2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性问题；（只讨论

2、线弹性问题）3．可求解静定与超静定问题；2、功能原理物体受力产生弹性变形时，外力作用点将沿力的方向产生位移，因而外力要作功，若不计动能的变化和其它的能量损失。外力功W＝物体所储存的应变能Vε。应变能：在外力作用下，物体因产生弹性变形而储存的能量称为弹性应变能，也称变形能。3、线弹性体（线弹性结构）（1）材料服从胡克定律。应用（2）变形微小，各力的作用互不影响。叠加原理的条件（3）任一点的位移与载荷呈线性齐次关系。（4）线弹性结构受到充分约束，在任何外力作用下没有刚体位移。即：位移是由变形引起。讨论对象：线弹性体。§13-2杆件应变能计算1、拉压P=FN静载PP

3、P加载过程中始终有PPDl=FNlEAlDlq(x)xdxq(x)·dx外力功W=1PDlDlDl211F2l应变能V=PDl=FDl=Ne22N2EA略去高阶微量，认为dx只承受FN(x)dVe=1FN(x)d(Dl)=FN2(x)dx22EAFN(x)FN(x)＋dFN(x)V=dV=F2(x)dxNòlòldxee2EA2、扭转me加载过程中始终有meT=meTlj=jGIpjlme静载1j外力功W=mej2应变能V=1mj=1Tj=T2le2e22GIP当扭矩随截面位置变化时Ve=òlT2(x)dx2GIp3、弯曲m纯弯曲加载过程中始终有mqm静载q=M

4、lM=mEIq外力功W=1Mqq2l12l应变能V=Mq=Me22EI横力弯曲M=M(x)1¢¢M(x)dθP1P2dVe=M(x)dqw=EI=dx2dq=M(x)dxEI一般情况下：dVe=M2(x)dxVe=M2(x)dx剪力对变形的影响很小，剪切2EIòl2EI应变能远远小于弯曲应变能。应变能的特点：（1）基本变形的应变能通式：V=W=1Fd=内力2×le22×刚度F-广义力泛指力或力偶矩；d-广义位移为线位移或角位移；（2）应变能的数值恒为正值；（3）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能不能简单叠加。同种类型荷载的变形能不能简单叠加。1）F1,F

5、2共同作用下：Ve=(F1+F2)2L=F12L+F22L+F1F2L2EA2EA2EAEA2）F1单独作用下：V=F12Le12EA3）F2单独作用下：V=F22Le22EAVe1+Ve2¹Ve证毕。LF1F2LLF1F2（4）线弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值，与加载的次序无关；P2lP1Ve1=P2先施加P1112EA再施加PAB又伸长DlAB=P2l1ABCl1l22EAP1保持不变，作功为Ve2=P1´PlP2作功为Ve3=P22(l1+l2)212EAEA总功为：Ve=P12l1+P1´P2l1+P22(l1+l2)2EA2EAEAP2P2

6、(l+l)P1ABP1l1e1先施加V=212再施加又伸长DlAB=EA2EAP2保持不变，作功为Ve2=P2´PlP1作功为=P2l11Ve311EA2EA（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)总功仍为上述表达式。直接利用功能原理求位移的实例利用能量法求解时，所列例求简支梁外力P作用点C的挠度。弯矩方程应便于求解。解：1)求反力RA=bPRB=aPPAabBll2)弯矩方程bx1Cx2M(x)=Rx=PxRAAC段：1A1l1RBl(0≤x1≤a)CB段：M(x2)=RBx2=aPx23)由功能原理l1PyC=òlM2(x)dx1éaæbö2bæaö2ù(0≤x2≤

7、b)=êò0çPx1÷dx1+ò0çPx2÷dx2ú22EI2EIêèløèløúëû分析：1=P2[b2a3+a2b3]=P2a2b2V=W=6EIl22PyePa2b2C6EIlyC=2结果大于零，说明位移的方向与力的方向一致。M(x)dx3EIlVe=òl2EI只适用于结构上有一个载荷，求载荷作用点沿载荷方向的位移。13-3应变能的普遍表达式v基础知识广义线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性齐次关系。比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方向的位移与该点的广义力成正比。应变能只取决于受力

8、变形的最终