高等数学及其应用电子教案（第二版）（同济大学数学系）ppt课件.ppt

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1、第九节洛必达法则本节用求导的方法,来求出某些未定型的极限.基本本节要点类型为和以及这两种形式的变形.问题的提出:考虑极限由等价无穷小,得再因但对于第三个极限,利用带佩亚诺型余项的麦克劳林所以故极限为展开式,在上面的三个例子中,尽管均为无穷小的商的极限,法.它主要针对和以及由这两种形式所产生的变形.但最终的极限却呈现出不同的结果.因而我们把这类极限称为未定式.洛必达法则给出了求这类极限的一个方定理2.3设在点的某邻域内有连续导数,⑴；⑵极限存在或为无穷大,则:一、型未定式又满足条件:并且时,证我们仅对与不同时为零的情况下给出证明.由条件得且若时有从而若时,同理可得于是由此,无论是否存在或为总有

2、注1在使用该法则的过程中,若型,则要再一次使用该法则,直到求出所需要的极限,即有仍然是这种通过分子分母分别求导来确定未定式的极限的方法即称为洛必达法则.注2在使用洛必达之前,适当地使用一些等价无穷小注3若把罗必达法则中的极限过程换成其它的的代换会简化某些计算.极限过程,则有相应的结论.具体表现为等,为了统一上面的极限形式,我们用来表示洛必达法则.使用洛必达法则基本步骤:⑴判定类型;⑵适当化简;⑶反复使用.例2.52求解例2.53求解法则法则例2.54求解例2.55求解⑴二、未定式定理2.4设与在的某个邻域内有连续导数,其中并且满足条件:⑵极限存在或为则例2.56求解进一步地,可以得到例2.5

3、7求解进一步地,可以得到例2.58求解除了前面的两种基本类型外,还有其它几种未定型,1.对型,可以通过初等的方法将其转换成上面它们分别是:的两种类型.我们通过下面的例子来说明这种方法.三、其它类型的未定式例2.59求解无穷小代换例2.60求解例2.61求解2.型对该种类型的常见方法是将某一项放到分母上,从而转变成基本类型.例2.62求解在这题中,若将放到分母上,将会使问题复杂化.这是因为从上式可以看到,经过这样的变换和求导,极限式只有比原先的问题更复杂了.因而决定应该将另一个函数放到分母上去.例2.63求解3.幂指函数类型对幂指函数类的极限,常用的方法就是取对数将其转化成前面的类型.常见类型

4、为例2.64求解令所以则由前题知:例2.65求解令则即