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《高等数学及其应用电子教案（第二版）（同济大学数学系）课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六节连续函数的概念和性质本节要点本节引入一类重要的函数——连续函数,并讨论闭区间上连续函数的基本性质.一、函数的连续性二、函数的间断点三、闭区间上连续函数的性质一、函数的连续性自然界中的很多现象都是连续变化的.例如气温的变很小时,温度的变化也很小.这就是化就是一个很明显的例子.所谓的连续变化指的是:当时间变化很小时,气温的变化也很小.具体地说,若以表示时刻时的温度,当时间变化很小时,即连续函数的本质特征.定义1.7设函数在点的某一个邻域内有定义,如果存在,且等于即则称函数在点是连续的,此时又称点是
2、函数的连续点.（1.6）（1.6）的等价形式是:记称其为自变量在的增量,因变量的增量记为则（1.6）表示成设若在区间内每点连续,则称其为区间上的连续函数;若且在上连续,又则称是闭区间上的连续函数.值得注意的是:区间上的连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例1.35证明函数为区间上的连续函数.证设是区间内的任意一点,给以增量因故故当有相应函数的增量为由此证明了函数在区间上为连续函数.结论1基本初等函数在定义域中都是连续函数.结论2连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）是连续函数,连续函数的复合
3、函数是连续函数.结论3初等函数在定义域中的任何一个区间上都是连续的.例1.36求极限解因函数为初等函数,点属于定义域内的区间因而二、函数的间断点设函数在的某去心邻域中有定义,若不是的连续点,则称是的间断点.间断点的类型:⑵在处有定义,但不存在;⑴在处无定义;⑶在处有定义且存在,但例1.37设函数则函数在连续.则函数在处不连续,但若重新定义连续,但若重新定义例1.38设函数则函数在处不则函数在处连续.在上面2个例中可以看到,这两个函数的共同特征为:函数在该点的极限存在,但函数在该点不连续.我们把这一类
4、间断点称为可去间断点.其具体意义是:我们可以通过补充这一点的定义或修改这一点函数的定义值,使其成为连续函数.例1.39设函数则当时,有即:函数在处的左右极限xyo存在但不相等.从图形中可以看到,这类函数的几何图形在间断点上有一个跳跃现象,因而把这一类间断点称为跳跃间断点.从图中可以看出,这类函数是不可能通过修改一点的函数值使其成为连续函数的.例1.40函数在点处无定义,但称是函数的无穷间断点.可去间断点与跳跃间断点的特征是,函数在这一点的左右极限均存在.通常把这一类间断点称为第一类间断点,除此之外的
5、间断点称为第二类间断点.三、闭区间上连续函数性质设定义在区间上,若存在点使得对则称为函数在区间上的最大值;相反地,若对于每一个都有则称为函数在区间上的最小值.每一个都有最大值和最小值分别记为例如函数在整个数轴上的最小值为但无最大值.定理1.4（最大值最小值定理）闭区间上的连续函数在证明从略.从右边的图中可以看出,若函数在闭区间上连该区间上一定有最大值和最小值.续,则在点和处分别取到最大值和最小值.推论闭区间上的连续函数必然有界.定理1.5（介值定理）若函数在闭区间上间内至少存在一点使得该性质从几何上
6、看是及其明显的.连续,则对于介于与之间的任何实数在区推论（零点定理）若函数在闭区间上连续,且异号,则在开区间内至少存在一点使得此时称为函数的零点.例1.41证明方程在区间内有唯一的根.证令由零点定理知,存在使得又函数是单调增加函数,故零点是唯一的.则在区间上连续,证令由零点定理知,存在使得例1.42证明方程在区间中有解.显然函数连续,又即故方程有解.
