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1、第三节三角函数的图象与性质1.作三角函数图象的方法(1)描点法:按照列表,描点,连线的顺序来作图.(2)几何法:利用单位圆中的正弦线,余弦线,正切线来作正弦,余弦,正切函数的图象.(3)五点法:y=sinx图象在［0,2π］上的五个关键点坐标为(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).y=cosx图象在［0,2π］上的五个关键点坐标为(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).(4)三点两线法:正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三个点分别为（kπ，0），（kπ+，1），（kπ--1），其中k∈Z.两线为直线x
2、=kπ+（k∈Z），直线x=kπ-(k∈Z).2.函数y=cos(x-),x∈［0,］的值域为______.【解析】由0≤x≤,∴≤x-≤0,而函数在［,0］上单调递增,即cos()≤cos(x-)≤cos0,故≤cos(x-)≤1.答案:［，1］3.函数y=log2cos2x的定义域为_______.【解析】由cos2x＞0得2kπ-＜2x＜2kπ+,k∈Z,即kπ-＜x＜kπ+,k∈Z.答案:(kπ-,kπ+)(k∈Z)4.设函数f(x)=sin(2x-),x∈R,则f(x)是()(A)最小正周期为π的奇函数(B)最小正周期为π的偶函数(C)最
3、小正周期为的奇函数(D)最小正周期为的偶函数【解析】选B.由f(x)=sin(2x-)=-cos2x知:f(x)是最小正周期为π的偶函数.5.函数f(x)=sin(-2x)的单调增区间是()【解析】选C.由f(x)=sin(-2x)=-sin2x,得2.周期函数的理解(1)周期函数定义中的等式:f(x+T)=f(x)是定义域内的恒等式,即对定义域内的每个x值都成立,若只是存在个别x满足等式的常数T不是周期.(2)每个周期函数的定义域是一个无限集,其周期有无穷多个,对于周期函数y=f(x),T是周期,则kT(k∈Z,k≠0)也是周期，但并非所有周期函
4、数都有最小正周期.三角函数的定义域与值域例1、(1)求函数y=的定义域;(2)求函数的值域.【自主解答】（1）由已知得sinx-cosx≥0,即sinx≥cosx.在［0,2π］内满足sinx≥cosx的x的集合为［,］.又正弦,余弦函数的周期为2π,∴所求定义域为{x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}.(2)由已知得y=(1-sin2x)+sinx+4=-sin2x+sinx+4.设sinx=t,则t∈［-1,1］,则y=-t2+t+4=-(t-)2+,t∈［-1,1］.∴当t=-1时,ymin=3.当t=时,ymax=.∴函数y=2cos2x+5
5、sinx-4的值域为［-3,］.【变式训练】（1）求y=的定义域;（2）求函数y=2sin(2x+),x∈（,）的值域.【规律方法】1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数图象来求解.2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法:(1)利用sinx,cosx的值域;(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+)+k的形式逐步分析ωx+的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域（最值）问题.三角函数的单调性例2、求下列函数的单调区间.(1)y
6、=2sin(-x)的单调增区间;(2)y=cos(-2x)的单调减区间;(3)y=tan(2x-)的单调区间.【自主解答】(1)∵y=2sin(-x)=-2sin(x-),∴2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z），即2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z).∴函数的增区间是［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）.(2)由y=cos(-2x)=cos(2x-)得2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)，故kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数的单调减区间为［kπ+,kπ+］(k∈Z).(3)由kπ-＜2x-＜kπ+(k∈Z)得,kπ-＜2x＜kπ+(k∈Z)，即(k∈Z)，
7、故函数的单调增区间为［)(k∈Z).无单调减区间.【规律方法】1.熟记y=sinx,y=cosx,y=tanx的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础.2.求形如y=Asin(ωx+)+k的单调区间时,只需把ωx+看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.求y=Acos(ωx+)+k和y=Atan(ωx+)+k的单调区间类似.【变式训练】求下列函数的单调减区间：(1)y=log2sin(x+);(2)y=.【解析】(1)由于外层函数是以2为底的对数函数，故是单调递增函数,因而只要求内层函数的减区间,又因为函数的定义域
8、为(2kπ-,2kπ+)(k∈Z),令2kπ+＜x+＜2kπ+(k∈Z),故2kπ+＜x＜2kπ+(k∈Z),∴函数的减区
