共点力的合成与分解法则.doc

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1、附件：关于成果内容的科学论文刊登于《高等理科教育》（全国中文类核心期刊）2002年第4期（总44期）共点力的合成与分解法则钱伯初（兰州大学物理系，甘肃兰州）摘要：根据空间的欧几里得性质和对称性，分析讨论了共点力的合成与分解法则——正交分解法则与平行四边形定则，并在很大程度上用逻辑推理导出了这个法则。关键词：合力，对称性，正交分解我国当前流行的中学物理教材，大学普通物理教材和力学教材，在开讲之初，都极少谈到物理空间的欧几里得性质和对称性（均匀性，各向同性）。共点力的合成与分解法则——正交分解法则与平行四边形定则，在大学教材中都不予讲述，因为这是中学阶段已经学过的内容。在

2、高中物理教材中，平行四边形定则作为纯粹的实验定律（但不用“定律”这个词）告知学生，没有讲出任何道理。实验室条件稍好的中学大多安排学生做一个相应的实验，以验证平行四边形定则。但因实验精度不高，作过实验仍将信将疑者大有人在。最近几年，本人在兰州大学主讲“物理学人才基地”力学课。为了使学生重视物理课程，一开始就养成良好习惯，分析物理问题时充分注意问题所特有的对称性，我在第一堂课就讲述本文内容及其思考过程，教学效果很好。现将这项教学研究成果公之于众，敬待有识之士批评指正。基本思路是从物理空间的欧几里得性质和对称性（均匀性，各向同性）入手，探讨力的合成与分解可能遵循的法则。作为

3、逻辑推理的前提，首先承认以下假设（A）和简单实验事实（B）：（A）同时作用于一个质点的两个力，就其引起的种种力学效果（静力学的、动力学的）而言，等价于一个合力。（B）作用于一个质点的两个方向相同的力，其合力仍沿原方向，大小为二者之和。力的方向和大小，用“力线”表示。上述（A）中二力的力线可决定一个平面，整个物理空间对于这个平面具有左右对称性，因此合力的力线必在此平面内。如二力大小相等，方向相反，从对称性考虑，合力显然为零。再结合实验事实（B），可知当二力大小不等，方向相反时，合力沿大力方向，大小为二者之差（代数和）。力的正交分解规律最直接地反映出空间的几何性质对物理规

4、律的制约。下面试作分析。如图1所示，Fx与Fy正交，其合力为F。用公式表示，就是F=Fx+Fy（1）上式也可以理解为力F的正交分解式，即F可以分解为Fx和Fy。设F与x方向之夹角为，则F与y方向之夹角为（π/2－）。设正交分解的法则（物理规律）为Fx=Fu（），Fy=Fv（）（2）其中v（）=u（π/2－）。u（）为之待定连续函数。在图1中三力线所决定的平面上，称F方向为1，其正交方向为2，如图2所示。将Fx及Fy均沿1，2方向作正交分解，沿方向2的分力之和为F2=Fyu（）－Fxv（）=Fvu－Fuv=0沿方向1的分力之和应该等于F，即F=Fxu（）+Fyv（）=F

5、u2+Fv2亦即u2（）+v2（）=1（3）这是正交分解的最本质的一项性质。当=0和π/2，显然有u（0）=v（π/2）=1v（0）=u（π/2）=0（4a）当=π/4，显然有u（π/4）=v（π/4）=1/（4b）还有一个重要的特例。三个大小相等，夹角互成2π/3的共点力，力线在同一平面内。从对称性考虑，合力显然为零。将其中二力按图3所示方向作正交分解，容易得出u（π/3）=v（π/6）=1/2u（π/6）=v（π/3）=/2（4c）众所周知，由实验确定的力的正交分解法则（与平行四边形定则等价）是Fx=Fcos,Fy=Fsin（5）亦即u（）=cos,v（）=sin

6、（6）它与（3）—（4c）式是一致的。但由（3）—（4c）式还不足以证明（6）式。众所周知，对于任意角，计算cos和sin的值，并不总是由它们的原始定义直接计算，而是利用相当于（4a）—（4c）式的特殊角函数值，公式cos2+sin2=1（7）以及和角公式cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβsin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ（8）与倍角公式（α=β）。以下证明，待定函数u，v也有类似的和角公式。对于任意（α+β）=≤π/2，如图4，将F先沿方向3、4作正交分解，有F=F3+F4,F3=Fu（α）,F4=Fv（α）再将F3，F4沿x，y

7、方向作正交分解，即得F沿x、y方向的正交分解Fx=F3u（β）－F4v（β）=F[u（α）u（β）－v（α）v（β）]Fy=F4u（β）+F3v（β）=F[v（α）u（β）+u（α）v（β）]与（2）式比较，即得u（α+β）=u（α）u（β）－v（α）v（β）v（α+β）=v（α）u（β）+u（α）v（β）（9）它与（8）式完全类似。利用（3）、（4）、（9）式（包括α=β时的倍角公式）就可对任意角求出u（）、v（）之值，结果必然与cos、sin之值相同，由此可知，u（）即cos，v（）即sin，（5）式得证。在正交分解法则（5）式的基础上，即可证明