初中数学经典动点问题.doc

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1、动点问题的几何题应该怎么答?动态几何问题解法指要以运动中的几何图形为载体构建的综合题称动态几何问题，其已成为各地市中考压轴题的首选题型。由于这种能把三角、平几、函数、方程等集于一身的题型灵活性强、难度较大，广大考生均感棘手。今析解两例，望对同学们有所启迪。动态几何问题解法指要：1.考虑运动全貌，善于“动”中捕“静”，并能以“静”制“动”。对运动全过程的深刻把握，有助于抓住运动中的某些关键时刻（静止），同时便于站在更高角度鸟瞰全局，不致以偏概全。2.善于“数形结合”。以数折形，精确；以形论数，直观。例1.已知：如图所示，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点（点P可以

2、与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设。（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；（3）当线段PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）。分析：考虑运动全貌，明了运动变化趋势，找到关键点，可以知晓如下情况：（参见图2）图21.P与B重合时（假设能重合），E、B重合，F为AC中点，（见图中四点）；P与A重合时，E为BC中点，（见图中四点）；P在线段BA上由B至A运动时，E从向运动，F从向运动，Q从向运动，即P、Q互相靠

3、近；于是，EP、FQ＝直线的交点经历由△ABC外到AB边上到△ABC内的过程；2.如图1所示为运动过程的一个情形，借助三角函数容易由BP→BE→EC→CF→AF→AQ完成过渡，找到y与x关系；图13.P、B重合，P、Q重合，P、A重合是三个关键时刻，是分情况讨论的基础。解：（1）在Rt△BEP中，∴同理，AF＝AC－CF＝1＋AQ＝AF×cos60°＝（2）如图3，当P、Q重合时，图3∴∴（3）如图4，设三角形的周长为c图4则第（3）步解析：易证∠OEF＝∠OFE＝60°则△OEF为正三角形，求周长范围转为求3EF范围，而EF＝EC×sin60°＝∵PE、FQ相交时，∴∴－1≤2－

4、∴例2.如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P，连结DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E。（1）试确定CP＝3时，点E的位置；（2）若设CP＝x，BE＝y，试写出y与自变量x的关系式；（3）若在线段BC上能找到不同的两点，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求a的取值范围。图5分析：随着a值及点P在BC上位置的变化，运动过程中可能出现以下几种状态：①图7中，易分析得DP⊥BC时，CP＝3，此时E与B重合；②图6、图8、图9中，均易得∠PDH＝90°－∠DPH＝∠EPB，从而△PDH∽△EPB，进而利用

5、比例线段确定y与x关系式；③对于图10，若E与A重合且∠EPD＝90°，则必有在以AD为直径的圆上，亦即BC与此圆相交，由此可确定a的取值范围，这体现了数形结合的优势。图10解：（1）过D作DH⊥BC于H，则四边形ABHD为矩形，BH＝AD＝9∴CH＝12－9＝3∴当CP＝3时，P与H重合，此时E与B重合（2）无论点E在BA的延长线上，在线段AB上或在AB的延长线上，都有∠PDH＝90°－∠DPH＝∠EPB故有△PDH∽△EPB∴，其中PB＝BC－PC＝12－xI：当0≤x＜3时，E在AB延长线上，PU＝3－x　　　∴II：当3≤x＜12时，E在射线BA上，PH＝x－3∴（3）若在

6、线段BC上，E与A重合，又∠EPD＝90°∴在以AD为直径的圆上即此圆与直线BC相交故有