2017-2018学期高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.1 曲边梯形面积与定积分 新人教B版选修2-2ppt课件.ppt

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1、1.4.1曲边梯形面积与定积分第一章§1.4定积分与微积分基本定理学习目标1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点一曲边梯形的面积如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，该图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.思考2能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要

2、步骤)答案答案①分割；②近似代替；③求和；④取极限.(1)曲边梯形曲线与平行于的直线和所围成的图形，称为曲边梯形.(2)求曲边梯形面积的方法求由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(如图①)的面积的步骤梳理x轴y轴①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个

3、定值，即为曲边梯形的面积.小曲边梯形以直代曲近似值思考知识点二定积分的概念与基本性质分析求曲边梯形的面积和变力所做的功，找一下它们的共同点.答案答案两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限.定积分的有关概念与基本性质(1)函数定积分的定义设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图)，用分点a＝x0

4、0，在每个小区间内任取一点ξi，作和式In＝.梳理当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作.(2)定积分的定义式(3)定积分的相关名称符号ʃf(x)f(x)dxxab[a，b]相关名称积分号___________________________________________积分变量__________________积分区间被积函数被积式积分下限积分上限(4)定积分的基本性质题型探究例1求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n2＝n

5、(n＋1)·(2n＋1)].解答类型一求曲边梯形的面积解令f(x)＝x2＋1.(1)分割将区间[0,2]n等分，分点依次为(2)近似代替、求和(3)取极限求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲.(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限.(3)关键：近似代替.(4)结果：分割越细，面积越精确.(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如反思与感悟跟踪训练1求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积.解答解∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影

6、.得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积.(1)分割将区间[0,2]n等分，(2)近似代替、求和(3)取极限类型二利用定积分表示曲边梯形的面积解答例2利用定积分表示由直线y＝x－2，曲线x＝y2围成的平面区域的面积S.解曲线所围成的平面区域如图所示，(1)定积分的几何意义：当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分ʃf(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下，如图，定积分ʃf(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x＝a、x＝b之间各部分

7、面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.反思与感悟(2)利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题，定积分的值可正可负可为零，而面积是正值.跟踪训练2利用定积分表示下图中阴影部分的面积.答案则(1)____________；(2)____________.类型三利用定积分的几何意义求定积分例3说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值.解答解答解答引申探究解答解答解答利用定积分所表示的几何意义求ʃf(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平

8、面图形的形状.常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.反思与感悟跟踪训练3用定积分的几何意义求：解答(2