勾股定理一对一专题讲义.pdf

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1、.知识点梳理１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；222表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么abc２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法DCH用拼图的方法验证勾股定理的思路是EGFba①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变AcBba②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理acbcc常见方法如下：bcaab122方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)c，化简可证．Aa2Dbc方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四Eca122

2、个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4abc2abc大正方BbC2222222形面积为S(ab)a2abb所以abc1112方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc，化简得证222３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90，则222222cab，bca，acb②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理222如果三角形三边长a

3、，b，c满足abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。..①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一222定理时，可用两小边的平方和ab与较长边的平方c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；222222②若abc，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若abc，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；222③定理中a，b，c及abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边222长a，b，c满足acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边

4、６.勾股数222①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：22222222n1,2n,n1（n2,n为正整数）；2n1,2n2n,2n2n1（n为正整数）mn,2mn,mn（mn,m，n为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以

5、便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三..角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：CCC30°AABADBB

6、D10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。勾股定理典型题归类类型一：等面积法求高0【例题】如图，△ABC中，∠ACB=90，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。（1）求AB的长；C（2）求CD的长。ADB类型二：面积问题【例题】如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长2为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm。CDBA7cm【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图中格点四边形A

7、BCD的面积和周长。（2）求∠ADC的度数25.B169.ADEBC【练2】如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是______.【练3】如图字母B所代表的正方形的面积是类型三：距离最短问题【例题】如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管