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1、第一章常微分方程与偏微分方程概论主要内容：常微分方程的基本知识，包括：方程的建立、解的概念、最基本的求解方法等；偏微分方程基本知识，包括数学物理方程的导出，初边值问题、方程的傅立叶变换等；略微详细介绍热传导方程。1.1常微分方程简介1.1.1常微分方程的基本概念牛顿第二定律：其中：m是质量，r是位置向量，t是时间，F是作用于质点的力牛顿引力定律：其中：G是万有引力常数，M与m是一对相互吸引的质点，r是从M到m的向量，r∕
2、r
3、是与r同向的单位向量这就是描述行星运动的微分方程——微分方程中未知函数只出现一个自变量。求解方程，可引入极坐标变换，
4、令u=1∕r则得到下面的二阶常系数线性微分方程：u0,q0是由初始条件确定的2个常数。1.1.2一些典型的常微分方程一、可分离变量的方程具有如下形式：可转化为两边对x积分（如果可能的话）得G(y)+C1=F(x)+C2即G(y)=F(x)+C二、齐次方程具有如下形式作变量替换，令u=y∕x→y=u·x是可分离变量的方程三、线性变系数方程具有如下形式（一阶）相应的齐次方程显然是个可分离的方程积分得通解yh(x)=C·exp[-P(x)]其中：定义积分因子则m(x)·yh(x)=C两边求导对于q(x)≠0时m(x)·y(x)=C不成立。但由上面
5、的推导，可有对上式积分得即有伯努利方程作变换，令u=y1-nn阶常系数线性微分方程其中，a0,…,an均为常数。先考虑齐次情形令y=elx代入得解这个方程得l=l1,…,ln若li≠lj,i≠j方程通解为若某个lj是h重根，则对应还有如下的h个解可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线性组合都是齐次方程的通解。下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令令dz∕dx=u这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解y=y0(x)则，原方程通解为1.2偏微分方程的导出与定解1.2.1偏微分方程的概念未知
6、函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程（数学物理方程）。几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述和求解。但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程度。至于非线性方程，也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。所以，在数学上无法建立起偏微分方程研究的一般性理论。1.2.2几个典型的数学物理方程热传导方程（温度分布）——扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）其中
7、a>0，a2=k∕Q，k是传热系数，Q是热容量。拉普拉斯方程——调和方程当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）波动方程当声波在空气中传播时，如果u表示压强的小扰动，a>0是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播速度1.2.3初边值问题对于最典型的求解问题是初始值问题——柯西问题即：求波动方程的解u，使其满足初始条件u0(x,y,z)和u1(x,y,z),表示在t=0时波的形状和关于t的变化率。一维情形——弦振动方程初始条件作变换x=x-at,h=x+at方程变为且通解为u=f(x-at)+g(x
8、+at)其中f与g是任意两个具有连续二阶导数的函数。并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔（d′Alembert）公式高维情形，把(x，y，z)记x=(x1,x2,x3),x=(x1,x2,x3)利用傅立叶变换（Fourier）其中xx=x1x1+x2x2+x3x3且当f满足一定条件时有Fourier逆变换另外有对于下面方程，利用Fourier变换变成解常微分方程的初值问题，解得其中做Fourier逆变换，得泊松（Poisson）公式其中ds1（dsat）是球面
9、l
10、=1（
11、l
12、=at）的面积元素。1.3热传导方程初值问题的求解两边关于x
13、做Fourier变换解常微分方程得若记且有从而同理代入得其中通常称K(x-x,t-t)为热传导方程基本解，且当f(x,t)≡0、j(x)适合一定条件时，可证明泊松公式是给出的初值问题解。1.4二阶偏微分方程的分类与化简1.4.1二阶偏微分方程的分类三个典型的二阶偏微分方程的标准形式：（波动方程）（热传导方程）（位势方程）其中：f是(x1,…,xm)或(x1,…,xm,t)的函数，a为常数，是Laplace算子。二阶偏微分方程的一般形式：其中aij=aji、b、c、f都是(x1,…,xm)的函数。用A表示矩阵（aij)i,j=1,2,..,m
14、对于波动方程，取m=n+1,t=xn+1对于热传导方程，取m=n+1,t=xn+1对于位势方程，取m=n如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交矩阵T，使得T
