待定系数法在不等式中的应用.doc

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1、...待定系数法在不等式中的应用在解(证)不等式问题时，最常用的解题技巧是调整系数、拆项、补项。但调整系数、拆项、补项时，既要考虑不等式的结构，又要符合相关要求，这些就需要待定系数法兼顾几方面的要求。下面举例说明。例1已知函数y=的最大值为7，最小值为－1，求此函数的表达式．分析：求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值．解：将函数式变形为：(y－m)x－4x＋(y－n)=0，∵xR，∴△=(－4)－4(y－m)(y－n)≥0，即y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0．①要使函数有最大值7，最小值－1，亦就是－1≤y≤7，显然(y＋1)(y－7)

2、≤0．就是y－6y－7≤0．②比较①、②系数得方程组：或故所求函数表达式为：y=或y=．例2已知二次函数(x)=ax+bx，且满足1≤(－1)≤2，2≤(1)≤4，求(－2)的取值围．分析：如果试图把a、b从两个约束不等式中解脱出来，然后求(－2)的围，这是一种扩大解集的方法．若用(－1)、(1)表示(－2)，用待定系数法求此三者的关系，就不会出错．正确解法：令(－2)=m(－1)+n(1)，即4a－2b=m(a－b)+n(a+b)=(m+n)a+.......(n－m)b．比较两边的系数，得又∵1≤(－1)≤2，2≤(1)≤4，∴(－2)=3(－

3、1)+(1)∈[5，10]．评注：从上述两例可以看出，待定系数法可以整体使用已知条件，简化运算过程，避免错解．例3已知－1≤2x＋y－z≤8，2≤x－y＋z≤9，－3≤x＋2y－z≤7，求证：－6≤7x＋5y－2z≤47。解：令A(2x＋y－z)＋B(x－y＋z)＋C(x＋2y－z)=7x＋5y－2z，比较两边系数，得：由于－1≤2x＋y－z≤8，4≤2(x－y＋z)≤18，－9≤3(x＋2y－z)≤21，所以有－6≤7x＋5y－2z≤47。例4引入待定正参数t，∵t=≤(t+3a+1)①，同理t≤(t+3b+1)②，t≤(t+3c+1)③，①+②

4、+③得：t(++)≤(3t+3a+3b+3c+3)=t+3．∵t＞0，∴++≤t+．④当且仅当===t，即a=b=c=且t=时④式中等号成立，把t=代入④式，得：++≤3．...........