待定系数法在初中数学中的应用

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1、待定系数法在初中数学中的应用【摘要】要形成数学方法和理论，就少不了要进行解数学题，提高数学解题能力。而要提高数学解题能力，就必须掌握一些常用的解题方法。本文结合一些具体例题，着重介绍待定系数法在初中数学中六方面的具体应用：①待定系数法在因式分解中的应用；②待定系数法在多项式中的应用；③待定系数法在整式除法中的应用；④待定系数法在方程中的应用；⑤待定系数法在部分分式中的应用；⑥待定系数法在求函数解析式中的应用。【关键词】待定系数法初中数学应用【中图分类号】g632【文献标识码】a【文章编号】1006－9682（2011）09－0161－02全日制义务教育《数学课程标准》的前言部分提到

2、：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。而要形成数学方法和理论，就少不了要进行解数学题，提高数学解题能力。有人认为，提高解题能力的途径是多做数学题。这种看法有失偏颇。平时学生能自觉多做一些数学练习题固然很好，但如果只是死记硬背，搞题海战术，只会产生一些短期效应，达不到提高解数学题的能力，更谈不上应用。不同内容不同形式的数学题，有不同的解题方法。要提高数学解题能力，就必须掌握一些常用的解题方法，例如待定系数法、配方法、换元法等。这些方法作为解题工具使用，会给初中数学的学习带来很大的方便，因此，对这几种数学方法务必做到理解、会用、熟

3、练。本文主要结合待定系数法在初中数学中的应用，说明如何掌握一些常用的解题方法，提高自己的解题能力，以期达到抛砖引玉的作用。所谓的待定系数法，就是在解决某些问题时，先用某些字母表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题的方法。一、待定系数法在因式分解中的应用例1，分解因式：x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3。分析：所给的代数式是二元二次多项式，分解因式难度较大。由于x2＋2xy－8y2可以分解为（x＋4y）（x－2y），于是，原多项式能够分解成两个一次项乘积的一般形式应为（x＋4y＋m）（x－2y＋n），其中m、n为待定系数。再将上式展开，通过找对应项

4、的系数，确定m、n的值。解：∵x2＋2xy－8y2＝（x＋4y）（x－2y）。∴x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3＝（x＋4y＋m）（x－2y＋n），其中m、n为待定系数。上式展开后得到：x2＋2xy－8y2＋（m＋n）x＋（4n－2m）y＋mn。∴，解这个方程组，得。∴x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3＝（x＋4y－1）（x－2y＋3）。二、待定系数法在多项式中的应用例2，当m、n为何值时，（x2＋mx＋n）（x2－5x＋7）乘积中不含x2与x3的项。分析：此类问题只要将多项式相乘后加以整理，使x2，x3项的系数等于零即可。解：（x2＋mx＋n）（x2－5x＋7）＝x4－

5、5x3＋7x2＋mx3－5mx2＋7mx＋nx2－5nx＋7n＝x4＋（m－5）x3＋（n－5m＋7）x2＋（7m－5n）x＋7n。欲使乘积中不含x2与x3的项，则：，解得，即当m＝5，n＝18时，乘积中不含x2，x3的项。三、待定系数法在整式除法中的应用例3，当m、n为何值时，多项式x4－5x3＋11x2＋mx＋n能被x2－2x＋1整除？分析：被除式是四次五项式，除式是二次三项式，根据“被除式＝除式×商式”，可知商式的最高次数应该是2，因此可设商式为x2＋px＋n。再利用各对应项的系数相等或赋予x特殊值，从而得出方程组，解方程组得出结果。解法一：设商式为x2＋px＋n。∴x4－5

6、x3＋11x2＋mx＋n＝（x2＋px＋n）（x2－2x＋1）＝x4＋（p－2）x3＋（n－2p＋1）x2＋（－2n＋p）x＋n。由各对应项的系数相等，得：，整理为，解得。∴当m＝－11，n＝4时，x4－5x3＋11x2＋mx＋n能被x2－2x＋1整除。解法二：设商式为x2＋px＋n。∵x4－5x3＋11x2＋mx＋n＝（x2＋px＋n）（x2－2x＋1）。分别令x＝1，x＝2，x＝3，得：，整理为，解得。∴当m＝－11，n＝4时，x4－5x3＋11x2＋mx＋n能被x2－2x＋1整除。四、待定系数法在方程中的应用例4，已知方程x4－9x2＋12x－4＝0中有一个根是1，另一个根是

7、2，求这个方程的其它两个根。分析：由于所给方程是一元四次方程，它应该有四个根。已知其中两个根，所以代数式x4－9x2＋12x－4含有因式（x－1）（x－2），它还应含有另一个二次三项式。观察x4－9x2＋12x－4最高项x4的系数为1，常数项为－4。因此二次三项式应为（x2＋mx－2），其中m为待定系数。只要确定出m的值，问题便迎刃而解了。解：设x4－9x2＋12x－4＝（x－1）（x－2）（x2＋mx－2），其中m为待定系数。令x＝－1，得：（－1）4－9×（－1）