华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案.doc

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1、..第11章（之1）（总第59次）教材容：§11.1多元函数1．解下列各题：**（1）.函数连续区域是_______．答：**（2）.函数，则（）(A)处处连续(B)处处有极限，但不连续(C)仅在（0,0）点连续(D)除（0,0）点外处处连续答：（A）**2.画出下列二元函数的定义域：（1）；解：定义域为：，见图示阴影部分：（2）；解：，第二象限双曲线的上方，第四象限双曲线的下方（不包括边界，双曲线用虚线表示）．（3）．解：．.....***3.求出满足的函数.解：令，∴∴，即．***4.求极限：．解：（）∴．*

2、*5.说明极限不存在．解：我们证明沿不同的路径趋于时，极限不同．首先，时，极限为，其次，时，极限为，故极限不存在．**6.设，试问极限是否存在？为什么？解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在点的任一去心邻域函数并不总有定义的，轴与轴上的点处函数就没有定义．.....***7.试讨论函数的连续性．解：由于是初等函数，所以除以外的点都连续，但在上的点处不连续．**8.试求函数的间断点．解：显然当时，没定义，故不连续．又是初等函数．所以除点（其中）以外处处连续．第11章（之2）（总第60次）教材容：§11.2偏导数[

3、§11.2.1]**1.解下列各题：（1）函数在点处（）（A）和都存在；（B）和都不存在；（C）存在，但不存在；（D）不存在，但存在．答：（D）．（2）设，那么（）(A)0；(B)1；(C)；(D)．答：(D)．（3）设，则______，__________．.....解：由于，，同理．**2.设，求．解：，．**3.求函数对各自变量的偏导数.解：．**4.设，求．解：，．***5.求曲线在点处切线与y轴的夹角．解：由于曲线在平面，故由，得切线与y轴的夹角为．[也可求出切向量为]∴夹角=．***6.设函数在点连续

4、，已知函数在点偏导数存在，（1）证明；（2）证明也一定存在．解：（1），因为存在，所以.....即，故．（2）由于在点连续，且，所以时，是无穷小量，而是有界量，所以，即．第11章（之3）（总第61次）教材容：§11.2偏导数[§11.2.2~11.2.4]**1.求函数的全微分，并求出其在点处的梯度向量．解：∴，．**2.求函数的全微分：解：**3.设，求．解：.....．**4.利用，可推出近似公式：，并利用上式计算的近似值．解：由于，设，，于是，，∴．***5．已知圆扇形的中心角为，半径为，如果增加了，减少了

5、1cm，试用全微分计算面积改变量的近似值．解：，，∴．***6.计算函数在点处沿给定方向的方向导数．解：，，.....∴．***7.函数在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数的值．解：，，，其中为与的夹角，所以时，即与同向时，方向导数取最大值．**8.对函数求出以及.解：，．**9.求函数在点处的梯度．解：，．.....***10.讨论函数在点（0，0）处的连续性，可导性和可微性．解：因为，所以在点（0，0）连续．因为，极限不存在，在（0，0）处不可导，从而在（0，0）处不可微．第11章（之4）

6、（总第62次）教材容：§11.3复合函数微分法；§11.4隐函数微分法**1.解下列各题：（1）若函数可微，且有及，则=()(A)(B)(C)(D)答：(A)（2）设函数由方程所确定，则 =_________．答：．（3）方程，在变量代换，下，可得新方程为_______......答：．**2.设求．解：，，．**3.一直圆锥的底半径以3的速率增加，高h以5的速率增加，试求r=15，h=25时其体积的增加速率．解：，*4.设而，求．解：．**5.若，证明：．解：，则．**6.设，求．.....解：，，．**7.求

7、由方程所确定的函数的偏导数．解：，．**8.设试求．解：两边对求导，得，解得，两边对求导，得．解得，所以．***9.函数由方程所确定，其中具有连续一阶偏导数，，求和．解：，，，．***10.求由方程所确定的隐函数.....在坐标原点处沿由向量所确定的方向的方向导数．解：当时，．，．***11.设求．解：类似地第11章（之5）（总第63次）教材容：§11.5多元函数微分法在几何上的应用**1.曲面在点处的切平面方程为（）（A）（B）（C）（D）答：(A)．**2.设函数可微，曲面过点，且.过点作曲面的一个法向量，已

8、知与轴正向的夹角为钝角，则与轴正向的夹角=______．答：．.....***3.设曲线在对应点处的法平面为，则点到的距离______．答：2．**4.求曲线在点处的切线和法平面方程．解：．∴切线方程为：，法平面方程为：．***5.求曲线在点处的切线和法平面方程．解：设，，，，．∴，∴切线方程为，法平面方程为，即．.....***6.求曲面在点)处的法线在平面上投影方程．