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1、§2.2 一元二次方程及其应用中考数学(湖南专用)A组 2014—2018年湖南中考题组五年中考考点一 一元二次方程及其解法1.(2015湖南衡阳,8,3分)若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1,则另一个根为( )A.-2 B.2 C.4 D.-3答案 A把x=-1代入x2+3x+a=0,可得1-3+a=0,解得a=2.∴原方程为x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2.故选A.2.(2018湖南郴州,13,3分)已知关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为
2、-3,则方程的另一个根为.答案2解析解法一:因为关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为-3,所以将x=-3代入原方程,求得k=1,解一元二次方程得另一个根为2.解法二:由一元二次方程根与系数的关系可得,两根之积为-6,原方程的一个根是-3,所以另一个根为2.3.(2014湖南岳阳,10,4分)方程x2-3x+2=0的根是.答案1或2解析将原式因式分解,得(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2.4.(2017湖南湘潭,22,8分)多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式
3、从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)尝试:分解因式:x2+6x+8=(x+)(x+);(2)应用:请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.解析(1)x2+6x+8=x2+(2+4)x+2×4=(x+2)(x+4).(2)∵x2-3x-4=0,∴(x+1)(x-4)=0,则x+1=0或x-4=0,解得x=-1或x=4.思路分析(1)类比题干中因式分解的方法求解即
4、可;(2)利用十字相乘法将左边因式分解后求解.考点二 一元二次方程根的判别式,根与系数的关系1.(2018湖南娄底,5,3分)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.不能确定答案 A由题意得Δ=[-(k+3)]2-4×1×k=k2+2k+9=(k+1)2+8,∵(k+1)2≥0,∴(k+1)2+8>0,即Δ>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.2.(2017湖南怀化,7,4分)若x1,x2是一元二
5、次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1·x2的值是( )A.2 B.-2 C.4 D.-3答案 D∵x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,∴x1·x2=-3.故选D.3.(2017湖南益阳,6,3分)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=1,x2=-1,那么下列结论一定成立的是( )A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≤0答案 A由题意可知关于x的一元二次方程ax2+bx+
6、c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,所以b2-4ac>0,故选A.4.(2018湖南常德,13,3分)若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,则b的值可能是(只写一个).答案6(答案不唯一)解析∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4×2×3>0,解得b<-2或b>2.故答案可以为6.(答案不唯一)解题关键本题考查了根的判别式,牢记“当Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.5.(2016湖南岳阳,22,8分)已知关于x的方程x2-
7、(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).解析(1)证明:Δ=[-(2m+1)]2-4m(m+1)=1>0,∴方程总有两个不相等的实数根.(2)∵x=0是方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0的一个根,∴0-(2m+1)×0+m(m+1)=0,解得m=0或m=-1.∵(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5
8、,∴当m=0时,3m2+3m+5=3×02+3×0+5=5;当m=-1时,3m2+3m+5=3×(-1)2+3×(-1)+5=3-3+5=5.综上,(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值是5.评析本题主要考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法,属于中等难度题.6.(2014湖南株洲,21,6分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)
