2018苏锡常镇一模(十)数学DA.doc

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1、2018届苏锡常镇四市高三年级第二次模拟考试(十)数学参考答案1.{1}　2.5　3.y＝±x　4.63　5.　6.257.　8.8　9.2　10.　11.a≥e＋412.6　13.　14.[0，1)15.解析：(1)由题意sinα＝，cosα＝，(2分)所以a·b＝sinα＋sin＝sinα＋sinαcos＋cosα＝＋×＋×＝.(6分)(2)因为a∥b，所以sinαsin＝1，即sinα＝1，所以sin2α＋sinαcosα＝1，(10分)则sinαcosα＝1－sin2α＝cos2α，对锐角α有cosα≠0，所以tanα＝1，

2、所以锐角α＝.(14分)16.证明：(1)连结MN，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥CC1，且AA1＝CC1，则四边形AA1C1C是平行四边形，因为点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，所以MN∥AA1，且MN＝AA1，(2分)因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，所以MN∥BB1，且MN＝BB1，所以四边形MNBB1是平行四边形，所以B1M∥BN，因为B1M⊄平面A1BN，BN⊂平面A1BN，所以B1M∥平面A1BN.(6分)(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN⊂平面

3、ABC，所以BN⊥AA1，在正△ABC中，N是AB的中点，所以BN⊥AC.因为AA1，AC⊂平面AA1C1C，AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA1C1C.因为AD⊂平面AA1C1C，所以AD⊥BN，(10分)由题意，得AA1＝，AC＝2，AN＝1，CD＝，所以＝＝，因为∠A1AN＝∠ACD＝，所以△A1AN与△ACD相似，则∠AA1N＝∠CAD，所以∠ANA1＋∠CAD＝∠ANA1＋∠AA1N＝，　所以AD⊥A1N.因为BN∩A1N＝N，BN，A1N⊂平面A1BN，所以AD⊥平面A1BN.(14分)17.解析：(1)由题意得解得(

4、4分)所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(6分)(2)由题意知A(0，－1)，直线l1，l2的斜率存在且不为零，设直线l1：y＝k1x－1，与直线y＝x联立方程有解得E，设直线l2：y＝－x－1，同理F，(8分)因为OE＝OF，所以

5、

6、＝，(10分)①＝，k1＋＝0无实数解；(11分)②＝－，k1－＝2，k2－2k1－1＝0，解得k1＝1±，综上可得，直线l1的斜率为1±.(14分)18.解析：(1)设∠OPQ＝α，由题意，得在Rt△OAQ中，OA＝3，∠AQO＝π－∠AQC＝π－＝，所以OQ＝，在△OPQ中，OP＝3，∠POQ＝－

7、θ＝－＝，由正弦定理得＝，(2分)即＝，所以sinα＝sin＝sin，则sinα＝sincosα－cossinα＝cosα＋sinα，所以sinα＝cosα，(4分)因为α为锐角，所以cosα≠0，所以tanα＝，得α＝.(6分)(2)设∠OPQ＝α，在△OPQ，OP＝3，∠POQ＝－θ＝－＝，由正弦定理得＝，即＝，(8分)所以sinα＝sin＝sin＝cos(α－θ)＝cosαcosθ＋sinαsinθ，所以(－sinθ)sinα＝cosαcosθ，其中－sinθ≠0，cosα≠0，所以tanα＝，(11分)记f(θ)＝，f′(θ

8、)＝，θ∈；令f′(θ)＝0，sinθ＝，存在唯一θ0∈使得sinθ0＝，(13分)当θ∈(0，θ0)时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增，当θ∈时f′(θ)<0，f(θ)单调递减，所以当θ＝θ0时，f(θ)最大，即tan∠OPQ最大，因为∠OPQ为锐角，所以∠OPQ最大，此时sinθ＝.故观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为.(16分)19.解析：(1)函数y＝g(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝0，b＝－2，f(x)＝x3－2x＋c，因为f(x)≥g(x)恒成立，所以x3－2x＋c≥lnx恒成立，即c≥lnx－x3＋2x.(2分)

9、令φ(x)＝lnx－x3＋2x，则φ′(x)＝－3x2＋2＝＝，令φ′(x)≥0，得x≤1，所以φ(x)在区间(0，1]上单调递增，令φ′(x)≤0，得x≥1，所以φ(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，(4分)所以当x＝1时，[φ(x)]max＝φ(x)＝1，所以c≥1.(6分)(2)①当b＝－3时，f(x)＝x3＋ax2－3x＋c，f′(x)＝3x2＋2ax－3.由题意，得f′(x)＝3x2＋2ax－3≤0对x∈(－1，1)恒成立，(8分)所以所以a＝0，即实数a的值为0.(10分)②函数y＝h(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝

10、0，b＝－3，c＝2时，f(x)＝x3－3x＋2.f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1.x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值0(12分)所以当x∈(0，1)时，f(x)>0，当x＝1时