名校之门2011届高三数学精品复习之(07)三角变换.doc

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1、2011届高三数学精品复习之三角变换1．若α∈，则sinα<α1），（图象略）1个。[举例2]已知q是第二象限的角，且<，那么+的取值范围是A(-1、0)B(1、)C(-1、1)D(-、-1)解析：q是第二象限的角，则∈（k+，k+）k∈Z，（一、三象限中“靠近”y轴的部分），∵<，∴不在第一象限（第一象限正、余弦均为正，“靠近”y轴正弦较大），即∈（

2、2k+，2k+）k∈Z，+=，+∈（2k+，2k+），由图象知：∈(-、-1)，选D。[来源:学*科*网][巩固1]若且＜＜，则的值为（）[来源:学科网]A．或B．C．D．[巩固2]⊿ABC的内角A满足：且tanA-sinA<0,sinA+cosA>0,则A的取值范围是___2．已知一个角的某一三角函数值求角的大小，一定要根据角的范围来确定；如：sin=m(

3、m

4、<1),则=2k+arcsinm或=2k+-arcsinm；cos=m(

5、m

6、<1),则=2k±arccosm;tan=m,则=k+arctanm，k∈Z等。两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sinα=sinβ,则α=2k

7、+β,或α=2k+-β，kZ;若cosα=cosβ,则α=2kβ;若tanα=tanβ,则α=k+β,kZ等。[来源:Z#xx#k.Com][举例1]已知sin2A=sin2B,则⊿ABC的形状为__________解析：∵sin2A=sin2B且2A+2B∈（0，2），∴2A=2B或2A+2B=A=B或A+B=即⊿ABC是等腰或直角三角形。[举例2]已知sin=-,∈(-,-)，求解析：sin=-，则=2k-或=2k，k∈Z，又∈(-,-)∴=。[来源:Z&xx&k.Com][巩固]如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（）A．和都是锐角三角形B．和都是钝角三角形C．是钝角三

8、角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形[提高]已知∈(0，)，则直线x+ytan+1=0的倾角A．B．-C．+D．-3.熟悉将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B的套路。即：运用两倍角正（余）弦公式及半角公式降次、（其中sin2x=(1-cos2x)，cos2x=(1+cos2x)这两个公式使用频繁，必须牢记）再引入辅助角（特别注意，经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一）。这是三角变换中最常用的一套“组合拳”，要能娴熟而精准地使用。[举例]函数f(x)=6sinxcosx-8sin2x取得最大值时tan2x的值为。[来源:Zxxk.Com]解析：f(x)=3si

9、n2x-4(1-cos2x)=3sin2x+4cos2x-4=5(sin2x+cos2x)-4=5sin(2x+)-4(其中tan=),当且仅当2x+=2k+即2x=2k+-，k∈Z时函数f(x)取得最大值，此时tan2x=tan(2k+-)=cot=。注意：上述过程中“5(sin2x+cos2x)-4”这一步最好不要跳过，它是保证辅助角不出错的最重要的关口。[巩固]函数的最大值为4．求具体角的三角函数值的一般方法：角负化正、大化小。必须熟记常用几个特殊角的三角函数值，很多“疏忽”皆源于此；而在“无条件”求值问题中，恰倒好处地运用特殊角三角函数值又往往是解题的关键。[举例]的值是：（）A．-

10、B．-C．-D．-解析：用两倍角公式，很快就会发现进行不下去。尝试“大化小”，原式==，选C。（把100换成300-200是关键）。[来源:学*科*网][巩固1]=[巩固2]=[迁移]若，则(A)(B)(C)(D)5.三角变换中遇到形如：sinα±cosα=m的条件，如果是研究性质的问题，常“合二为一”；如果是求值的问题，常两边平方，得到sinαcosα的值并判断出sinα、cosα的符号，再与sinα±cosα=m联立，解方程组。sinα±cosα与sinαcosα“三兄妹”关系密切，要做到见此及彼；其中sinαcosα=[（sinα+cosα）2-1]=[1-（sinα-cosα）2],

11、sinα+cosα与sinα-cosα通过sinαcosα实现过渡.[举例]已知a，若，求的值。解析：思路一：联立方程①和②，解得：或∵a∴>0,后一组接舍去，∴=-。[来源:学#科#网]思路二：由①平方得：③，联立①③运用韦达定理求得两组和的值，舍去一组后得出的值。思路三：利用③容易求得，注意到<0即和异号，∵a∴>0,<0；∴④；联立①④得到和的值，再求出的值。思路四：由①平方得：<0，∵a∴>0,<0，