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《名校之门2011届高三数学精品复习之(19)空间中角和距离》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2011届高三数学精品复习之空间中的角和距离1．解立几题要有化平几思想：所有求空间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解，有时还可以将要求的角（或线段）所在的平面分离出来，这样清楚醒目，便于求解，不易出错。QBCPADON图1-12．研究异面直线所成的角通常有两种方法。①通过平移使之成为一个平面角，然后解三角形求得；②在空间直角坐标系中利用向量的夹角公式。[注意]异面直线所成角的范围是：（00，900]，如：cos<，>=-,则异面直线a,b所成的角为arccos。[举例]如图,已知两个正四棱锥的高分别为1和2,，(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;解析：
2、(Ⅰ)记AC、BD交于O，连PO、QO，则PO⊥面ABCD，QO⊥面ABCD，∴P、Q、O共线，PQ⊥面ABCD；[来源:Z§xx§k.Com](Ⅱ)方法一：“平移”：注意到AC、PQ交于O，取OC的中点N，连结PN，BN，QBCPADON图1-2xyz∵，∴，故AQ∥PＮ.∠BPＮ是异面直线AQ与PB所成的角（或其补角）.∵∴故异面直线AQ与PB所成的角是．方法二：“建系”：由题设知，ABCD是正方形，∴．由（I），平面，故可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图1-2），由题设，相关各点的坐标分别是，，，，,于是注：在“平移”时常用到一些平
3、面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。[巩固1]异面直线a,b所成的角为600，则过空间中一点P与a,b都成300的直线有几条？与a,b都成500的直线有几条？与a,b都成600的直线有几条？与a,b都成700的直线有几条？[变形]过大小为600的二面角外一点P作与它的两个面都成600的直线有几条？[巩固2]设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于___
4、______．图3-13．直线与平面所成的角要“抓住”直线在平面内的射影，然后在直角三角形内求得；直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最小值。线面角的范围：[00，900]。[举例1]在如图3-1所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．求与平面所成的角．（07高考浙江理16）解析：方法一：“找射影”。过M作MF⊥ED于F，连CF，由CM⊥AB，CM⊥AE得CM⊥面ABDE，故CM⊥ED，∴ED⊥面CMF，于是有面CED⊥面CMF于CF，过M作MH⊥CFF于H，则MH⊥面CED，∴∠MCH为与平面所成的角；[来源:Zxxk.Com]设，，在直角梯形中，，是
5、的中点，[来源:Zxxk.Com]所以，，，得是直角三角形，其中，∴MF=在中，CM=MF，∴，故与平面所成的角是．注：“作垂面”是求作点M在面内的射影的最重要、最常用的方法，其过程是：过M点作平面⊥于，则M在面内的射影M/∈。方法二：“建系”。如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，．设向量与平面垂直，则，，即n·=0,n·=0,∵，，得：，，即，由向量夹角公式得：cos=,直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以，故直线与平面所成的角是．注：线与面的法向量所成的角与线面角互余；注意到线面角不为钝角，故：
6、AB与面所成的角为：arcsin（为面的法向量）。用法向量求线面角，以计算代替说理（找射影），最大限度地实现了“去逻辑化”，为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方便的路径；但是，并非所有的空间形体都可以建立适当的坐标系。BCADPNM图3-3EBCADPNM图3-2QBCADPNM图3-1[举例2]如图3-1，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.求CD与平面ADMN所成的角。[来源:学科网ZXXK][来源:学科网]解析：确定C点在面ADMN上的射影Q的位
7、置很困难。方法一：“射影悬空”。先不管Q点的位置，∠CDQ为CD与平面ADMN所成的角，入图3-2；记BC=a,在Rt⊿CQD中，CD=a,只需求出CQ（C到面ADMN的距离）即可，记为h；注意到，不难知道[来源:学科网ZXXK]⊿AMD中AD边上的高为AN，AN=a,∴=a2；=2a2，M到面ACD的距离为a，∴h=a,故在Rt⊿CQD中，∠CDQ=arcsin。注：射影“悬空”求线面角的“革命”性意义在于绕开了求线面角中最困难的一步——确定射影的位置，把问题化归为求点到面的距离；而求点到面的距离可以通过“等积转换”实现，并不需要知道射
