定积分的方法总结.doc

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1、定积分的方法总结定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1、求，（）解:因为函数在上连续，所以函数在上可积，采用特殊的方法作积分和．取，将等分成个小区间,分点坐标依次为取是小区间的右端点，即，于是，，其中，==将此结果代入上式之中，有从上面的例题可见，按照定积分的定义计算定积分要进行复杂的计算，在解题时不常用，但它也不失为一种计算定积分的方法．　评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中

2、的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．变式：求．分析：将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解：将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即==．二、微积分基本定理法例2、计算．解：===．练习：计算：(1)．(2)解:(1)．(2)．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．一般地：三、几何意义法例3、求定积

3、分的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：,而表示圆x2＋y2＝4在第一、二象限的上半圆的面积．因为，又在x轴上方．所以＝．评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4、求下列定积分：⑴；⑵．分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tanx及是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴＝0；⑵＝0．评注：一般地，若f(x)在[－a，a]上连续，则有性质：①当

4、f(x)为偶函数时，＝2；②当f(x)为奇函数时，＝0练习：计算：(1)．(0)(2)．五、定积分换元法定理：假设(1)函数在区间上连续；(2)函数在区间上有连续且不变号的导数；(3)当在变化时，的值在上变化，且，则有：．　(1)本定理证明从略．在应用时必须注意变换应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例5、求解：令，则，，当时，；当时，。所以===。练习：计算:(1)．(2)．解:(1)令，则．当时，；当时，．故.显然，这个定积分的值就是圆在第一象限那部分的面积．(2)解法一令，则．当时，

5、；当时，，于是．解法二:也可以不明显地写出新变量，这样定积分的上、下限也不要改变．即．作业：1.求下列定积分:(1);(2);(3);(4)2.求下列定积分(1)，(2)，(3)。答案:(1)(2)(3)3.利用奇偶性计算下列定积分。（1），（2），（3）。答案:2（1）0，（2），（3）0，