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时间:2020-09-24
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1、竞赛专题――几何变换【竞赛知识点拨】一、平移变换1. 定义设是一条给定的有向线段,T是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点变到,使得,则T叫做沿有向线段的平移变换。记为,图形。2. 主要性质在平移变换下,对应线段平行且相等,直线变为直线,三角形变为三角形,圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。二、轴对称变换1. 定义设是一条给定的直线,是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点变到,使得与关于直线对称,则叫做以为对称轴的轴对称变换。记为,图形。2. 主要性质在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线(段)或者平行,或者交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、
2、旋转变换1. 定义设是一个定角,O是一个定点,R是平面上的一个变换,它把点O仍变到O(不动点),而把平面图形F上任一点变到,使得,且,则R叫做绕中心O,旋转角为的旋转变换。记为,图形。其中时,表示的始边到终边的旋转方向为顺时针方向;时,为逆时针方向。2.主要性质在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角。四、位似变换1. 定义设O是一个定点,H是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点变到,使得,则H叫做以O为位似中心,为位似比的位似变换。记为,图形。其中时,在射线上,此时的位似变换叫做外位似;时,在射线的反向延长线上,此时的位似变换叫做内位似。2. 主要性质在位似变换下,一对
3、位似对应点与位似中心共线;一条线上的点变到一条线上,且保持顺序,即共线点变为共线点,共点线变为共点线;对应线段的比等于位似比的绝对值,对应图形面积的比等于位似比的平方;不经过位似中心的对应线段平行,即一直线变为与它平行的直线;任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变;圆变为圆,且两圆心为对应点;两对应圆相切时切点为位似中心。【竞赛例题剖析】【例1】P是平行四边形内一点,且。求证:【例2】“风平三角形”中,求证:【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中,试求周长最小的四边形。【评注】当已知条件分散,尤其是相等的条件分散,而又不容易找出证明途径,或题目中有平行条件时,将图形的某一
4、部分施行平移变换,常常十分凑效。【评注】如果题设中有角平分线、垂线,或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形,可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外,也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更,以便于比较它们之间的大小。
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