第2讲行列式与矩阵简介.doc

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1、第2讲：行列式与矩阵简介1.行列式1.1二元一次方程与二阶行列式对线性方程组：a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)消元法：①b2×（1）的两端，b1×（2）的两端，结果为：a1b2x+b1b2y=c1b2(3)a2b1x+b1b2y=c2b1(4)（3）—（4）得：（a1b2—a2b1）x=c1b2—c2b1（5）于是，若a1b2—a2b1≠0，便可求出x：x=（c1b2—c2b1）/（a1b2—a2b1）（6）②a2×（1），a1×（2），结果为：a1a2x+a2b1y=a2c1（7）a1a2x+a1b2y=a1c2（8

2、）（7）—（8）得：（a2b1—a1b2）y=a2c1—a1c2（9）y=（a2c1—a1c2）/（a2b1—a1b2）（10）③找规律：称为二阶行列式。横的为行，竖的为列。数a1、a2、b1、b2、c1、c2称为行列式的元素。于是，使用行列式的记号，方程组（1）和（2）的解便可表示为：[例]2x+3y=9x+7y=-4∴x=75/11y=-17/111.2.三元一次方程组与三阶行列式对线性方程组：a1x1+b1y1+c1z1=d1(1)a2x2+b2y2+c2z2=d2(2)a3x3+b3y3+c3z3=d3(3)x=△1/△y=△2/

3、△z=△3/△为了便于研究行列式的性质，把位于行列式第i行第j列的元素记做aij，使用这种记号，二阶行列式变为：三阶行列式变为：对n阶行列式：△n1称为原行列式去掉an1所在的一行和一列后的“子式”。1.3行列式的性质①行列式的任二列（或）行交换，其值不变，但改变符号。对三阶行列式也是如此，交换两次不变号。②用常数λ乘行列式任意一列的诸元素，等于用λ乘这个行列式。同理可知：③若行列式中任意二列元素相同或成比例，则行列式的值为零。证明：以三阶行列式为例，令bi/ai=λ≠0，i=1，2，3，即一、二两列元素成比例，于是bi=λai，从而有:

4、④加法定理：若二行列式只有一列不同，则二行列式之和等于把行列式中的这一列元素换成二行列式的相应二列之和，即⑤行列式中的一列元素加上另一列元素的常数倍，则行列式之值不变。证明：根据加法定理⑥行列式的行与列交换，行列式的值不变。证明：⑦子式和代数余子式子式：去掉行列式中的一行和一列，便可得到一个低阶的行列式，称之为原行列式的一个子行列式，简称为子式。例如按列展开：按行展开：此外，还可按其它行或其它列展开令Aij=（—1）i+j·△ij，称Aij为aij的代数余子式。△ij为原行列式的子式对于任意行列式：⑧行列式的乘法：两个行列式相乘，用前一个

5、行列式的每一行乘以后一个行列式的每一列（某一行乘以某一列得到一个新元素）得到新的行列式，其行等于前一个行列式的行，列等于后一个行列式的列。则∴Cij=∑airbrji，j=1，2，……n∴AB≠BA2.矩阵2.1定义矩阵在广义上是一些数字或数字符号的矩形排列，它可与其它矩形排列按一定规则相结合。例如其中()表示矩阵符号，aij为矩阵元。矩阵的行和列的定义与行列式的相同，aij是位于矩阵第i行第j列的一个元素，当[aij]中的i=j的矩阵称为方阵，方阵中具有i=j的一组元素aij，即a11a22a33…称为对角元素。所有对角元素都等于1且所

6、有其它元素都等于0的方阵称为单位矩阵。一般用符号E表示。方阵的行（或列）数称为这个矩阵的阶。矩阵中有相当重要的一种矩阵是单行矩阵和单列矩阵。例如，[a1a2a3]行矩阵列矩阵注意不要把矩阵与行列式相混淆。2.2矩阵代数规则矩阵代数主要是确定矩阵的一些运算规则，即矩阵的加法、减法、乘法和除法等一些规则。（1）相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当对于所有i和j均有：Aij=Bij。例如（2）加法与减法：只有相同维数（即行数和列数都相同）的矩阵才可以相加或相减，若矩阵A和B的维数相同，则A和B相加或相减后得到的新矩阵C的维数也相同。A±B=C其中

7、对所有的i和j，Cij=Aij+Bij。例如则（3）乘法a．当用数C乘矩阵A得到矩阵B，B=CA即A矩阵的所有元素Aij都乘以C，Bij=C·Aij例如这与行列式不相同！！！b．A和B两矩阵相乘，只有当A的列数（假定为n）等于B的行数时，才可以相乘，称为矩阵乘法。其定义为C=A·B其所有矩阵元Cij都按方程Cij=∑Aik·Bkj（k=1～n）（与行列式的相同）得到.若A是m×n阶矩阵，B是n×p阶矩阵，则C必为m×p阶矩阵。例如（3×3）（3×1）（3×1）矩阵乘法的一种容易的记法是：两个矩阵相乘，依次取第一个矩阵的各行按向量乘法分别乘

8、以第二个矩阵的各列，第i行和第j列相乘得乘积矩阵中的（i，j）元素，图示如下：………………………第2行…………………S24…………………………………………………………………………第4列对于两个