第7章第2节空间几何体的表面积与体积.doc

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1、2010~2014年高考真题备选题库第7章立体几何第2节空间几何体的表面积与体积1．（2014陕西，5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)A.B．4πC．2πD.解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝＝1，所以V球＝×13＝.故选D.答案：D2．（2014山东，5分）三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝________.解析：如图，设点C到平

2、面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝Sh，V1＝VE－ADB＝×S×h＝Sh，所以＝.3．（2014江苏，5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r1，r2，母线长分别是l1，l2.则由＝可得＝.又两个圆柱的侧面积相等，即2πr1l1＝2πr2l2，则＝＝，所以＝＝×＝.答案：4．（2013新课标全国Ⅰ，5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8c

3、m，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)A.cm3　　　　　　　　　　B.cm3C.cm3D.cm3解析：本题考查正方体和球组成的组合体、球的体积的计算，意在考查考生的空间想象能力、转化化归能力以及运用体积公式进行计算的能力．解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R－2)cm(其中R为球半径)，再利用球半径、球心距和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为Rcm，根据已知条

4、件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝πR3＝π×53＝cm3，选择A.答案：A5．（2013辽宁，5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)A.B．2C.D．3解析：本题主要考查多面体、球等基本概念以及如何根据组合体中的位置关系进行准确计算，意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力以及转化思想．如图，

5、由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝.答案：C6．（2012新课标全国，5分）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.解析：在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝＝；同理SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面A

6、BD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1×＝，则三棱锥的体积为××2＝.答案：A7.（2012江西，5分）如右图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0

7、EF＝EI＝SEtan60°＝x，SI＝2SE＝2x，IH＝FG＝BI＝1－2x，FI＝GH＝AH＝2x，∴五边形EFGHI的面积S＝FG×GH＋FI×＝2x－3x2，∴V(x)＝VC－EFGHI＋2VI－BHC＝(2x－3x2)×CE＋2×××1×(1－2x)×(1－2x)＝x3－x2＋，其图像不可能是一条线段，故排除C，D.(2)当≤x<1时，过E点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG，则EG＝EF＝ECtan60°＝(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)，三棱锥E－FGC底面F

8、GC上的高h＝ECsin45°＝(1－x)，∴V(x)＝×CG·CF·h＝(1－x)3，∴V′(x)＝－(1－x)2，又显然V′(x)＝－(1－x)2在区间(，1)上单调递增，V′(x)<0(x∈(，1))，∴函数V(x)＝(1－x)3在区间(，1)上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B，应选A.答案：A8．（2011辽宁，5分）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为(　　)A．3　　　　　　　　　　B．2C