第三章第六节倍角公式和半角公式.doc

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1、第三章第六节倍角公式和半角公式题组一三角函数求值1.如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋)＋cos(α＋)＝(　　)A.B．－C.D．－解析：∵sinα＝，＜α＜π，∴cosα＝－，而sin(α＋)＋cos(α＋)＝sin(α＋)＝cosα＝－.答案：D2．已知sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值是(　　)A．－B．－C.D.解析：cos(＋2α)＝－cos(－2α)＝－cos[2(－α)]＝－[1－2sin2(－α)]＝－.答案：A3．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为______．解析：cos(＋A)＝coscosA－sinsinA＝(cosA

2、－sinA)＝，∴cosA－sinA＝＞0.①∴0＜A＜，∴0＜2A＜由①两边平方得1－sin2A＝，∴sin2A＝.∴cos2A＝＝.答案：4．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.(1)求f()的值；(2)设α∈(0，π)，f()＝，求sinα的值．解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x，∴f()＝sin＋cos＝1.(2)∵f()＝sinα＋cosα＝.∴sin(α＋)＝，cos(α＋)＝±.sinα＝sin(α＋－)＝×－(±)×＝.∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝.题组二三角函数式的化简与证明5.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是(　　

3、)A．(－，)B．(0，)C．(，)D．(，π)解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，它的一个单调递增区间是(，π)．答案：D6．化简等于(　　)A．1B．－1C．cosαD．－sinα解析：原式＝＝＝＝1.答案：A7．求证：tan2x＋＝.证明：左边＝＋＝＝＝＝＝＝＝＝＝右边．∴tan2x＋＝.题组三三角恒等变换的综合应用8.若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是(　　)A．(，)B．(，π)C．(，)D．(，)解析：sinα＞cosα，即sinα－cosα＞0，即2sin(α－)＞0，即sin(α－)＞0.又0≤α≤2π，故－≤α－≤.综上，0＜α－＜π，即＜

4、α＜.答案：C9．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)·sin2x，x∈R，则f(x)是(　　)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数解析：f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2x·sin2x＝sin22x＝(1－cos4x)．周期T＝＝，y＝(1－cos4x)是偶函数．答案：D10．已知0<α<π，sinα＋cosα＝，则的值为(　　)A．－B．－C.D.解析：由sinα＋cosα＝得，1＋2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝－，可解得sinα＝，cosα＝，∴＝＝－.答案：B11．已知函数f(x)＝

5、2sin2(＋x)－cos2x，x∈[，]．(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式

6、f(x)－m

7、<2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝[1－cos(＋2x)]－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝1＋2sin(2x－)，又∵x∈[，]，∴≤2x－≤，∴≤sin(2x－)≤1，即2≤1＋2sin(2x－)≤3.∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.(2)∵

8、f(x)－m

9、<2⇔f(x)－2f(x)max－2且m

10、n(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)一个周期的图象如图所示．(1)求函数f(x)的表达式；(2)若f(α)＋f(α－)＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值．解：(1)从图知，函数的最大值为1，则A＝1.函数f(x)的周期为T＝4×(＋)＝π.而T＝，则ω＝2.又x＝－时，y＝0，∴sin[2×(－)＋φ]＝0.而－＜φ＜，则φ＝，∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin(2x＋)．(2)由f(α)＋f(α－)＝，得sin(2α＋)＋sin(2α－)＝，即2sin2αcos＝，∴2sinαcosα＝.∴(sinα＋cosα)2＝1＋＝.∵2sinαcosα＝＞0

11、，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝.