高考数学综合能力题30讲第19讲二次曲线与二次曲线.doc

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1、数学高考综合能力题选讲19二次曲线与二次曲线北京中国人民大学附中梁丽平题型预测高考说明中明确指出：“对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)”．但是，在解答某些问题时（如1990年全国理科25题），难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价．其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，由于涉及到的参量较多，问题往往显得较为复杂，这类问题要特别加以注意，理清思路，顺藤摸瓜，设计好解题步骤．范例选讲例1．讨论圆与抛物线的位置关系．讲解

2、：圆是以为圆心，1为半径的圆，从草图不难发现，当时，圆与抛物线无公共点；当时，圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线相交；而当时，圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断．为此，我们需借助方程组的解的个数来加以说明．把代入，整理得：（＊）．此方程的判别式．可以看到：当时，；当时，；当时，．事实上，当时，的确有圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线无公共点．而当时，虽然有方程（＊）的，但圆与抛物线却并不总有公共点，也即判别式与方程组解的个数不等价．造成这种情况的原因实际上是由于：在方程组转化为方程（＊）的过程中，忽略了条件．事实上，方程组解的个数等于方程（＊）的非负解的个数．综上，圆与抛物线的位置

3、关系如下：当或时，圆与抛物线无公共点；当时，圆与抛物线相切（只有一个公共点）；当时，圆与抛物线相交（两个公共点）；当时，圆与抛物线相交（三个公共点）；当时，圆与抛物线相交（四个公共点）；当时，圆与抛物线相切（两个公共点）．点评：双二次曲线的问题，要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价．例2．已知椭圆，它的离心率为．直线，它与以原点为圆心，以的短半轴为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，左准线为．动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．试点到圆上的点的最短距离．讲解：（Ⅰ）∵直线与以原点为圆心，以b为半径的圆相切．∴．又∵椭圆的离心率为．∴．∴椭圆的方程为．（

4、Ⅱ）由（Ⅰ）可得：椭圆的左焦点的坐标为，左准线的方程为：．连接，则．由抛物线的定义不难知道：点M的轨迹为以为焦点，以：为准线的抛物线，其方程为：．所以，点到圆上的点的最短距离，实际上就是抛物线与圆上的点的最短距离．下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问题．解法一：首先，如果抛物线上点A与圆上点B之间距离最小，则AB必过圆心O．（否则，连接OB、OA，设OA交圆于点N，则＋NA＝OA

5、：用纯代数的方法去思考．设为抛物线上任意点，为圆上任意点，则F1OF2xQByP等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为和时取得．点评：方法二需要较强的代数变形的能力，充分运用图形的几何性质可以使得问题简化．例3．已知双曲线和椭圆有相同的焦点和，两曲线在第一象限内的交点为P．椭圆与y轴负半轴交于点B，且三点共线，分有向线段的比为1：2，又直线与双曲线的另一交点为，若．（Ⅰ）求椭圆的离心率（Ⅱ）求双曲线和椭圆的方程．讲解：（Ⅰ）要求椭圆的离心率，可以先只考虑与椭圆有关的条件．注意到：三点共线，且分有向线段的比为1：2．所以，若设椭圆的方程为：，则点P的坐标为．代入椭圆方程，可解得椭圆的离

6、心率．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆的方程为：，点P的坐标为．直线PB的方程为：设双曲线的方程为：，则．∵在双曲线上，∴化简得：．故．将直线PB的方程代入双曲线方程，消去y，得：．解得．从而．∴椭圆方程为，双曲线方程为．点评：解答本题，最大的问题在于：所给条件杂乱无序，不知从何入手．为此，应该理清头绪，层层递进，分步解答．高考真题１．（1988年全国高考题）直线L的方程，其中；椭圆的中心为，焦点在x轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为．问：p在那个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，他们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离．2．(1990年全国高考题)设椭圆的中心是坐标

7、原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．[答案与提示：1．；2．]