中国人民大学附中特级教师梁丽平_高考数学综合能力题30讲第18讲_直线与二次曲线

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1、数学高考综合能力题选讲18100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、対称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范F用，1111线定义不能忘”.范例选讲例1.已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2+y2-10x4-20=0相切.过点P（-4,0）作斜率为扌的直线/,使得/和G交于两点，和y轴交于点C,并且点P在线段AB上，又满^PA[PB=PC

2、f.（I）求双曲线G的渐近线的方程；（II）求双曲线G的方程；（III）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于/的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程.讲解：（I）设双曲线G的渐近线的方程为：y=kx,则由渐近线与圆/+)/_10兀+20=0相切可得:所以，k-±—•2双曲线G的渐近线的方程为：y=±^x.（II）±（I）可设双曲线G的方程为：x2-4y2=m.把直线I的方程尸扣+4）代入双曲线方程，整理得3无2-8x-16-4m=0.Q则£+勺=->16+4m/.、心勺=3)VPA-

3、PB=PC(fP,A,B,C共线且P在线段AB上,2(xp-^)(xfi-xp)=(xp-xc),即：（兀b+4）（-4-兀J=16,整理得:4（兀人+兀〃）+£勺+32=0将（*）代入上式可解得:m=28.29所以，双曲线的方程为乞—21=1.28722（III）由题可设椭圆S的方程为：二+=1（g〉2V7）・下面我们来求出S28a2v）中垂直于/的平行弦中点的轨迹.设弦的两个端点分别为旳（西,）1）,"（兀2』2），MN的中点为P（兀。,儿），贝IJ两式作差得:（兀】一兀2）（旺+28X1+冬=128.2.2兀2+—<2

4、8CT)+!5-力)(~22「2也0由于~=-4,%,+兀2=2兀0，『］+旳=2儿西一兀2所以，乞—绎=0,28/所以，垂直于/的平行弦屮点的轨迹为直线—-^-=0截在椭圆S内的部分.28cT又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，工=丄・所1122以，a2=56,椭圆S的方程为:点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判別式和韦达定理是解决直线与岡锥曲线问题的常用工具）.例2.设抛物

5、线过定点A(-1,O),且以直线x=l为准线.(I)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(II)若直线/与轨迹C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线x=-~2'卜分，设弦MN的垂直半分线的方程为y=kx+m,试求m的取值范围.讲解：(I)设抛物线的顶点为G(xj),则其焦点为F(2x-iy).由抛物线的定义可知：AF=点A到直线尢“的距离=2.所以，如2+)“=2•v2所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为：疋+2_=1(兀工1).4(II)因为加是弦的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定.所以，要求加的取值范围，还应该从直线/与

6、轨迹C相交入手.显然，直线/与处标轴不可能平行，所以，设直线/的方程为/：〉，=-丄x+b,k代入椭圆方程得：曲+1]Cb于/与轨迹C交于不同的两点M,NA=^-4k2(庆一4)>0,即4疋—啟2+1>0(RhO).(*)乂线段MN恰被直线“冷平分，所以，几+"希2x<"2>+1所以，^=±L_±1.-2代入(次)可解得：

7、点P—,-2k代入y=kx+i2>1,14疋+1“yn=—+b==-2k•02k2k2k3km=2所以，-晋5V晋且心0・解法二设弦MN的中点为P（--,y{}J2丿,则由点M,N为椭圆上的点，可知:心+）宀4席+加2"两式相减得:4（心-切（乱+&）+（%-儿）（〉切+）5）=0(i)又由于％+Ev=2x^--J=-t切+)5=2y°,如f=—丄,代入上式Xm—Xnk又点P-+，）b丿在弦MN的垂直平分线上,所以，歹0=-丄比+加・213所以'm=yQ+-k=-yQ.在线段BB，上（BB为直线“V与椭圆的交点，如图），所以,也

8、即:-V3