中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第16讲立体几何综合问题

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1、Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲16立体几何综合问题100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测立体几何是高中数学的重要内容，是考察各种能力的重要载体，考察的方法常常是将计算和推理融为一体。增强立几试题的应用性与开放性可能是未来高考命题的趋势。范例选讲例1．如图，已知面，于D，。（1）令，，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？讲解（1）为寻求与的关系，首先可以将转化为。∵面，于D，∴。∴。∴。∵为在面上的射影。∴，即。∴。即的最大值为

2、，等号当且仅当时取得。（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！。。令，解得：，与交集非空。∴满足条件的点Q存在。点评本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。例2．如图所示：正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧

3、面上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。讲解：（1）连交于点，连PO，则PO⊥面ABCD，∴∠PAO就是与底面所成的角，∴tan∠PAO=。设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO=。设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在Rt中，，∴。即面与底面所成二面角的大小为（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。∴就是异面直线PD与AE所成的角。Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc5

4、21资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！在Rt中，。∴。由，可知：面。所以，。在Rt中，。∴异面直线PD与AE所成的角为。（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面的一条垂线，然后再平移到点E即可。为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：。延长交于点，连接。设为中点，连接。∵四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点，∴，。∴。∴面⊥。∵，，∴为正三角形。∴，∴。取AF中点为K，连EK，则由及得四边形为平行四边形，所以，。∴。点评开放性问题中，“退一步去想”

5、（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。高考真题Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！1．（2000年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且==。（I）证明：⊥BD；（II）假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角的平面角的余弦值；CDMBENAF（III）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。2．（2002年全国高考）如图：正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABC

6、D、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=.（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）当为何值时，MN的长最小；（Ⅲ）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。[答案与提示：1。（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）=1。2．（Ⅰ）；（Ⅱ）时，MN的长最小，为；（Ⅲ）]Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！