大学课件概率论 第3章 随机向量补充题目.ppt

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1、例１袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，每次取出的产品进行检查后放回袋中，设每次取出产品时，袋中每件产品被取到的可能性相等，定义下列随机变量。求(ξ,η)的分布律。解:(ξ,η)的分布律为1010例在例１中，如果每次取出后不放回，求(ξ,η)的分布律。解:(ξ,η)的分布律为1010例在整数1~5中任取一数ξ，(1)取ξ后放回去再取另一数η。(2)取ξ后不放回去再取另一数η。在这两种情况下分别求(ξ,η)的联合分布律、边缘分布律、P{ξ∣η=2}。解:例设（X,Y)的联合分布密度为（1）求k值（2）求关于X和Y的边缘密度（3

2、）求概率P(X+Y<1)和P(X>1/2)(2)均匀分布解(1)由得当时-11当时所以，关于X的边缘分布密度函数为-11续解………..-11解当时当时所以，关于Y的边缘分布密度函数为解（3）例：设（X,Y）的联合密度为判断X，Y是否独立。113解：已求得边缘密度为从而：F(x,y)=FX(x)FY(y)故X,Y相互独立例已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。解：（X,Y）的密度函数为当时，所以，关于X的边缘分布密度为关于X的边缘分布密度为当或时当时，所以，关于Y的边缘分

3、布密度为关于Y的边缘分布密度为当或时所以所以，X与Y不独立。例设二维连续型随机变量(ξ,η)的分布函数为F(x,y)=(A+Barctanx)(C+arctany)（１）求常数Ａ，Ｂ，Ｃ；（２）求(ξ,η)的分布密度；（３）D={(x,y):x-y>0,x≤1}，求P{(ξ,η)∈D}。解:（１）由二维分布函数性质，得由以上三式可得到（２）(ξ,η)的分布密度（３）定义：若fX(x)>0,则在{X=x}发生的条件下Y的条件密度函数定义为定义：若fY(y)>0,则在{Y=y}发生的条件下X的条件密度函数定义为例：设（X,Y）的联合密度为求：113解：先求

4、第一步，求y的边缘密度函数，第二步，再求条件密度函数，对于有：故条件密度函数为第一步，求x的边缘密度函数，第二步，再求条件密度函数，对于有：再求故条件密度函数为例：如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布分别积分，可得两个边缘密度函数为：即其联合密度函数为：例(X,Y)服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二元正态分布,证明X,Y相互独立的充要条件是ρ＝0。证因为，充分性若ρ＝0，则对任意实数x，y有即X,Y相互独立。必要性若X,Y相互独立，则对任意实数x，y有取x=μ1，y=μ2时上式也成立，此时上式化为即两个边缘分布分别服从正态分布与相关系数无关可见

5、，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布例解由此可知由此可知例设（X，Y）的联合分布密度函数为求关于X，Y的边缘分布密度函数解关于X的分布密度函数为所以，同理可得不同的联合分布，可有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布