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时间：2020-10-25
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1、２０００年全国初中数学联合竞赛试题2005年全国初中数学联赛初赛试卷及答案 2005年全国初中数学联赛决赛试卷及答案2007年全国初中数学联赛决赛一试试题及答案 2007年全国初中数学联赛决赛第二试试题及答案2008年全国初中数学联赛2008年4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式+的值为（）（A）5（B）7（C）9（D）112、如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（）（A）（B）4（C）（D）3、
2、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）（A）（B）（C）（D）4、在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（）（A）BM>CN（B）BM=CN（C）BM3、r，则r的最小值为（）（A）()3（B）()4（C）()5（D）6、已知实数x，y满足(x–)(y–)=2008，则3x2–2y2+3x–3y–2007的值为（）（A）–2008（B）2008（C）–1（D）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1、设a=，则=。2、如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM=，∠MAN=135°，则四边形AMCN的面积为。3、已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且4、m5、+6、n7、≤1。设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则8、p9、+10、11、q12、=。4、依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：44…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是。答案：B、D、C、B、B、D；–2、、、1。解答：一、1、由题设条件可知a2–3a+1=0，b2–3b+1=0，且a≠b，所以a，b是一元二次方程x2–3x+1=0的两根，故a+b=3，ab=1，因此+====7；2、因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，于是△AEF∽△ABC，故==，即cos∠BAC=，所以sin∠BAC=。在Rt△ABE13、中，BE=ABsin∠BAC=6×=；3、能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个，所以所组成的数是3的倍数的概率是=；4、∵∠ABC=12°，BM为∠ABC的外角平分线，∴∠MBC=(180°–12°)=84°，又∠BCM=180°–∠ACB=180°–132°=48°，∴∠BCM=180°–84°–48°=48°，∴BM=BC，又∠ACN=(180°–∠ACB)14、=(180°–132°)=24°，∴∠BNC=180°–∠ABC–∠BCN=180°–12°–(∠ACB+∠CAN)=12°=∠ABC，∴CN=CB，因此，BM=BC=CN；5、容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况。设5种商品降价前的价格为a，过了n天，n天后每种商品的价格一定可以表示为a∙(1–10%)k∙(1–20%)n–k=a∙()k∙()n–k，其中k为自然数，且0≤k≤n，要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为：a∙()i∙()n–i，a∙()i+1∙()n–i–1，a∙()i+2∙()n–i–2，a∙()i+315、∙()n–i–3，a∙()i+4∙()n–i–4，其中i为不超过n的自然数，所以r的最小值为=()4；6、∵(x–)(y–)=2008，∴x–==y+，y–==x+，由以上两式可得x=y，所以(x–)2=2008，解得x2=2008，所以3x2–2y2+3x–3y–2007=3x2–2x2+3x–3x–2007=x2–2007=1；二、1、∵a2=()2==1–a，∴a2+a=1，∴原式====–=–(1+a+a2)=–(1+1)=–2；2、设BD中点为O，连AO，则AO⊥BD，AO=OB=，MO==，∴MB=MO–OB=。又∠ABM=∠NDA16、=135°，∠NAD=∠MAN–∠DAB–∠MAB=135°–90°–∠MAB=45°–∠MAB=∠AMB，所以△ADN∽△MBA，故=，从而DN=∙
3、r，则r的最小值为（）（A）()3（B）()4（C）()5（D）6、已知实数x，y满足(x–)(y–)=2008，则3x2–2y2+3x–3y–2007的值为（）（A）–2008（B）2008（C）–1（D）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1、设a=，则=。2、如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM=，∠MAN=135°，则四边形AMCN的面积为。3、已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且
4、m
5、+
6、n
7、≤1。设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则
8、p
9、+
10、
11、q
12、=。4、依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：44…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是。答案：B、D、C、B、B、D；–2、、、1。解答：一、1、由题设条件可知a2–3a+1=0，b2–3b+1=0，且a≠b，所以a，b是一元二次方程x2–3x+1=0的两根，故a+b=3，ab=1，因此+====7；2、因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，于是△AEF∽△ABC，故==，即cos∠BAC=，所以sin∠BAC=。在Rt△ABE
13、中，BE=ABsin∠BAC=6×=；3、能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个，所以所组成的数是3的倍数的概率是=；4、∵∠ABC=12°，BM为∠ABC的外角平分线，∴∠MBC=(180°–12°)=84°，又∠BCM=180°–∠ACB=180°–132°=48°，∴∠BCM=180°–84°–48°=48°，∴BM=BC，又∠ACN=(180°–∠ACB)
14、=(180°–132°)=24°，∴∠BNC=180°–∠ABC–∠BCN=180°–12°–(∠ACB+∠CAN)=12°=∠ABC，∴CN=CB，因此，BM=BC=CN；5、容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况。设5种商品降价前的价格为a，过了n天，n天后每种商品的价格一定可以表示为a∙(1–10%)k∙(1–20%)n–k=a∙()k∙()n–k，其中k为自然数，且0≤k≤n，要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为：a∙()i∙()n–i，a∙()i+1∙()n–i–1，a∙()i+2∙()n–i–2，a∙()i+3
15、∙()n–i–3，a∙()i+4∙()n–i–4，其中i为不超过n的自然数，所以r的最小值为=()4；6、∵(x–)(y–)=2008，∴x–==y+，y–==x+，由以上两式可得x=y，所以(x–)2=2008，解得x2=2008，所以3x2–2y2+3x–3y–2007=3x2–2x2+3x–3x–2007=x2–2007=1；二、1、∵a2=()2==1–a，∴a2+a=1，∴原式====–=–(1+a+a2)=–(1+1)=–2；2、设BD中点为O，连AO，则AO⊥BD，AO=OB=，MO==，∴MB=MO–OB=。又∠ABM=∠NDA
16、=135°，∠NAD=∠MAN–∠DAB–∠MAB=135°–90°–∠MAB=45°–∠MAB=∠AMB，所以△ADN∽△MBA，故=，从而DN=∙
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